§ 3.2. Пространства предпочтений и безразличия

В практических задачах, которые нам придется рассматривать, мы будем иметь дело не с отдельно взятыми отношениями, а с совокупностями таких отношений. Например, можно было бы рассматривать множество всех отношений предпочтения или всех отношений безразличия. Однако особенности каждой отдельной задачи обычно сужают это множество в силу того, что на отношения накладываются дополнительно условия, например

условие транзитивности и т. п. Основным объектом наших исследований будут именно подмножества множества всех бинарных отношений. Дадим следующее общее определение.

Определение 3.2.1. Пространством бинарных отношений с носителем А называется произвольное подмножество множества всех бинарных отношений на А.

Несмотря на большую общность этого определения, на основе его можно получить содержательные результаты для произвольных пространств бинарных отношений. В этой книге, однако, нас будут интересовать лишь отношения слабого и строгого предпочтений и безразличия. В соответствии с этим мы будем рассматривать лишь подмножества, состоящие целиком из элементов одного класса и соответственно этому пространства будем называть пространствами предпочтения (слабого или строгого) или пространствами безразличия.

Обозначим через произвольное пространство отношений слабого предпочтения. С каждым пространством связаны пространство Р отношений строгого предпочтения Р и пространство I отношений безразличия Таким образом, пространство Р образовано всеми отношениями Р такими, что где а пространство состоит из всех I таких, что

Указанные взаимосвязи между пространствами легко описать следующим образом. Введем отображения отображающие множество всех бинарных отношений, определенных на множестве А, в себя:

где . Сужение отображения (которое мы будем обозначать той же буквой) на пространство отображает это пространство биективно на пространство Р. Аналогично а и (точнее их сужение на соответствующее пространство) отображают сюрьективно на

Эти отображения можно представить в виде следующей диаграммы:

Мы закончим этот параграф доказательством того, что эта диаграмма коммутативна.

Утверждение 3.2. Диаграмма 3.1 коммутативна,

Доказательство. Пусть Имеем откуда следует утверждение теоремы,