§ 12.4. Закон взаимодействия отношений

Пусть заданы два множества с нечеткими отношениями на них соответственно. Пусть также задано нечеткое отношение между Кортеж будем называть согласованной схемой, если выполнено соотношение

где

Отметим, что на языке теории множеств закон (12.1) означает, что отношение является прообразом отношения относительно соответствия

Одна из проблем, которые возникают при исследовании закона (12.1), состоит в изучении того, какие из свойств транзитивности отношения в соответствии с этим законом переносятся на отношение При произвольном выборе отношения нельзя, вообще говоря, утверждать выполнение свойства транзитивности отношения даже если отношение четкое. Однако, при некоторых дополнительных условиях на отношения можно доказать, что свойство транзитивности отношения Р выполняется для отношения К доказательству этого мы сейчас перейдем.

В дальнейшем будет предполагаться выполненным постоянно следующее свойство нечеткого отношения уже использованное нами в главе VIII. Мы будем говорить, что отношение

функционально, если оно удовлетворяет условию: для любого существует единственное такое, что

Другими словами, предполагается, что в матрице отношения в каждой строке найдется элемент, равный 1.

Ниже мы докажем теоремы, устанавливающие транзитивность отношения строгого предпочтения Р для предпочтения определяемого законом (12.1) в следующих двух частных случаях:

1) — четкое отношение линейного порядка, а — нечеткое отношение, обладающее свойством функциональности.

2) - нечеткий линейный порядок, четкое отображение.

Теорема 12.2. Пусть Тогда Р — четкий частичный порядок, если четкий линейный порядок, нечеткое отображение.

Доказательство. Рассмотрим функцию принадлежности отношения

Так как обладает свойством функциональности, то для каждого х существует единственный элемент такой, что В силу того, что является четким линейным порядком, для каждой пары либо либо, наоборот, либо

В первом случае имеем откуда Аналогично, во втором случае получаем Наконец, в третьем случае

Итак, мы показали, что Р является четким отношением. Покажем, что Р транзитивно. Пусть Но тогда и, в силу транзитивности откуда Предположим, что также Но тогда что противоречит предположению Полученное противоречие показывает, что что и требовалось доказать.

Теорема 12.3. Пусть Тогда Р — нечеткий частичный порядок, если нечеткий линейный порядок, четкое отображение.

Доказательство. Имеем

Пусть Так как нечеткий линейный порядок, то отсюда следует, что Обратно, из предыдущего условия немедленно следует, что Таким образом, условие равносильно условию Покажем, что Р транзитивно, т. е. что для любых Очевидно, что достаточно рассмотреть случай Но тогда

Предположим, что Тогда Но в силу имеем и, аналогично, откуда Так как нечеткий линейный порядок, то Имеем что противоречит линейности Полученное противоречие показывает, что т. е. Подставляя в получаем доказываемую транзитивность.

Итак, мы рассмотрели закон взаимодействия (12.1) для двух типов отношений четких и нечетких линейных порядков. Отметим, что в случае, когда есть «отношение равенства» на эталонах, задача построения отношения сводится к задаче кластерного анализа и в таком виде рассматривалась в работе 133].