§ 6.4. Сравнение геометрического и метрического подходов

В атом параграфе мы проиллюстрируем работу алгоритма для построения ядра выпуклой оболочки на четырех парах простейших примеров и одновременно проведем обещанное сравнение результатов применения метрического и геометрического подходов к решению задач группового выбора. Пары примеров составлены следующим образом: в первом примере каждой пары исходные данные задаются в пространстве и в нем же ищется групповое решение, во втором примере в качестве исходных принимаются все точки выпуклой оболочки в пространстве полученной в первом примере пары, и групповое решение ищется также в

Все примеры проводятся для Фрагменты пространств, изображаемые на рисунках, представляют собой выпуклые оболочки для исходных данных примера. Стрелками на рисунках указываются отношения включения. Для удобства представления о расположении исходных данных в пространствах на рис. 6.1 эти пространства изображены целиком. Исходные данные в первых примерах каждой пары для пространства будут обозначаться через а соответствующие им точки в через Начиная со второй пары примеров все исходные отношения будут сразу приводиться в одной таблице. Только в первом примере будет подробно описано формирование максимальных элементов ближайших к

данным В остальных же — они будут сразу отмечаться на рисунке.

Для сравнения условий, в которых приходится решать проблему группового выбора в пространствах в каждом примере для каждого пространства будут определены точки ядра, точки, в которых достигается или минимум суммы расстояний до исходных, т. е. медианы, или минимум суммы квадратов таких расстояний, т. е. среднее.

Рис. 6.1.

Все эти данные будут сводиться

в таблицы, непосредственно следующие за фрагментами пространств, являющихся выпуклыми оболочками для исходных данных примера.

Примеры подобраны таким образом, чтобы проиллюстрировать такие конфигурации расположения индивидуальных предпочтений, которые приводят к ядрам (множествам допустимых групповых решений) разной размерности — от минимального нулевого до максимального -мерного (подразумевая реализацию пространства в виде подмножества вершин куба размерности где число объектов), а также показать различные случаи соотнесения точек ядра с точками, принимаемыми в качестве групповых решений в метрическом подходе, т. е. с медианами и средними.

Отметим очевидную из рис. 6.1 разницу в пространственном расположении точек в используемых пространствах. В пространстве все расстояния между соседними точками равны 1, т. е. в этом отношении пространство — «однородное», точки в нем расположены равномерно, без сгущений и разрежений. В пространстве дело обстоит не так. По периметру шестиугольника, на котором расположены 12 точек, расстояния между соседними точками равны 1, но между этими точками и точкой, расположенной в центре пространства расстояние равно 2 или 3, как это показано на рис. 6.1.

Пример Пусть исходное множество X состоит из двух линейных квазипорядков Выпишем матрицы отношений и

и их образы в пространстве :

В данном примере исходные точки отстоят друг от друга на расстояние т. е. почти на максимальное расстояние (йпшхб). Построим ядро в в соответствии с процедурой,

описанной в § 5.3. Находим

Найдем теперь максимальные элементы Непосредственной проверкой убеждаемся, что какой бы элемент из разности мы ни добавляли к мы не получим транзитивного отношения. Следовательно, уже само является максимальным элементом. В разности же только добавление пары дает транзитивное отношение и, следовательно, Отсюда получаем, что ядерное отношение .

Таким образом, мы получили одномерное ядро, состоящее из двух точек: Следовательно, в пространстве 30 множество допустимых групповых решений состоит из двух отношений, первое из которых говорит о том, что эксперты «в среднем» не различают объекты или считают их несравнимыми, а второе — что эксперты могут «в среднем» провести различие только между двумя объектами а и с, а именно: а третий объект считают несравнимым с объектами аж с.

При переносе построенного ядра в пространство получаем только одно решение соответствующее поскольку для в пространстве нет соответствующего отношения. Полученное в отношение содержательно означает, что «в среднем» эксперты считают все объекты эквивалентными.

Выпуклые оболочки для исходных данных представлены на рис. 6.2 и рис. 6.3 для пространств соответственно.

Для рассматриваемых исходных данных все необходимые характеристики точек, составляющих выпуклую оболочку в обоих пространствах, сведены в таблицу 6.1. Эта таблица устроена следующим образом. В столбцах 3 и 6 помещены все точки, отмеченные на рис. 6.2 и 6.3 для пространств соответственно. На одной и той же строке в этих столбцах указаны точки, соответствующие друг другу при переходе из одного пространства в другое, причем, если для точки из 30 (например, точки в пространстве соответствующей точки нет, то в столбце 6 (напротив точки ставится прочерк. В каждом

пространстве точки распределены на три группы (см. столбцы 1 и 2): составляющие выпуклую оболочку, являющиеся исходными и образующие ядро выпуклой оболочки. В столбцах 4 и 7 для соответственно звездочками отмечены точки, являющиеся медианами, а в столбцах 5 и 8 — являющиеся средними.

Рис. 6.2.

Рис. 6.3.

Найти эти тачки можно непосредственным расчетом соответствующих сумм, подсчитывая расстояния от данной точки до всех исходных по рис. 6.1 или рис. 6.2 и 6.3. Заметим, что при расчете

Таблица 6.1

медиан и средних во внимание принимались все точки пространств

Таким образом, в этом примере, как это видно из таблицы 6.1, для двух исходных точек соответствующая им выпуклая оболочка в пространстве состоит из 8 точек, а в пространстве — из 13 точек. Ядро выпуклой оболочки в содержит одну точку точки: и Данные, характеризующие состояние проблемы группового выбора в рассматриваемом случае, представлены в таблице 6.2.

Таблица 6.2

Условия выбора группового решения в обоих пространствах при метрическом подходе можно признать довольно сложными. Если групповое решение выбирать из числа медиан, то в таковым может служить любая из восьми точек выпуклой оболочки, а в 90 — любая из тринадцати точек выпуклой оболочки. Отметим при этом, что семь из восьми точек в и одиннадцать из тринадцати точек в 90 не попадают в ядро. Привлечение среднего только приблизительно наполовину уменьшает число возможных групповых решений. Все ядерные точки попали в обоих пространствах в число медиан и средних. При «комплексном» подходе, т. е. таком подходе, когда на втором уровне выработки группового решения рассматриваются только те точки, которые на первом уровне удовлетворяют требованиям обоих подходов одновременно, в пространстве было бы только одно решение — точка а в — только два решения:

Пример А2. Будем теперь все точки выпуклой оболочки в пространстве полученной в предыдущем примере считать исходными, а поиск группового решения по-прежнему проводить в пространстве Очевидно, что при таком выборе исходных данных, выпуклые оболочки и их ядра в обоих пространствах (см. рис. 6.2 и 6.3) останутся без изменений.

Таблица 6.3

Таблица 6.4

Как видно из таблиц 6.3 и 6.4, условия группового выбора при метрическом подходе изменились: в пространстве только две точки являются медианами, а в только три. При геометрическом подходе множество допустимых групповых решений остается неизменным, поскольку ядра выпуклых оболочек не изменились.

Отметим две интересные особенности, выявляемые данной парой примеров. Первая — общая для всех пар рассматриваемых здесь примеров, состоит в том, что, как указывалось в § 5.2, выпуклая оболочка для каждой совокупности данных в общем случае может порождаться несколькими базисами.

Рис. 6.4.

Рис. 6.5.

Так, например, выпуклая оболочка (см. рис. 6.2) в , кроме базисов и может быть образована базисами из точек Выбирая эти наборы базисных точек в качестве исходных данных при метрическом подходе, мы будем в общем случае получать разные групповые решения при неизменном согласии всех наборов в смысле принципа Парето.

Вторая особенность состоит в следующем. В примере при метрическом подходе можно было выбрать решения как принадлежащие, так и не принадлежащие ядру. Рассматриваемый же набор исходных данных дает нам пример того, что множество решений при метрическом и геометрическом подходах могут не пересекаться: ни одна из точек 5, 6, 7, составляющих в пространстве множество возможных групповых решений при метрическом подходе, не принадлежит ядру.

Пример Б1. Исходные данные этого примера приведены в таблице 6.5. Выпуклые оболочки исходных точек приведены на рис. 6.4 и 6.5.

Возможные групповые решения при метрическом подходе и точки для данных примера представлены в таблице 6.6. Характеристики условий для выбора группового решения на первом уровне собраны в таблице 6.7.

Таблица 6.5

Отметим, что расстояние между исходными точками и само расположение точек по сравнению с примером как это видно из сравнения выпуклых оболочек на рис. 6.3 и 6.5, изменились незначительно, а размерность ядра в обоих пространствах увеличилась. Условия выбора группового решения сохраняют двухуровневость и аналогичны условиям примера При комплексном подходе количество решений на первом уровне может быть сокращено до двух в каждом пространстве.

Таблица 6.6

Пример Б2. Пусть, как и в примере точки выпуклой оболочки в пространстве будут исходными точками при поиске группового решения в пространстве Групповые решения при обоих подходах представлены в таблице 6.8. Из таблицы 6.8 видно, что в обоих пространствах все медианы и все средние являются одновременно и точками ядра. В пространстве проблема выбора группового решения при комплексном подходе решается однозначно выбором точки

(кликните для просмотра скана)

Выпуклые оболочки исходных данных приведены на рис. 6.6 и 6.7. Как видно из рис. 6.7, исходные данные в пространстве составляют ядро и выпуклую оболочку одновременно.

Рис. 6.6.

Рис. 6.7.

Размещение медиан и средних показано в таблице 6.10.

Таблица 6.1

Таким образом, в пространстве любая исходная точка при геометрическом подходе может быть выбрана в качестве группового решения (см. табл. 6.11), а в — любая из семи точек выпуклой оболочки. Дополнительный учет критериев метрического подхода сокращает число решений на первом уровне в до двух-трех точек, а в — до четырех или даже одной точки (2).

Пример В2. Размещение медиан и средних для случая, когда точки выпуклой оболочки в пространстве из примера принимаются в качестве исходных для поиска решений в пространстве показано в таблице 6.12. Как видно из этой таблицы, на роль группового решения в пространстве 90 при любом подходе может претендовать только одна точка 2. В пространстве же естественно, условия выбора группового решения не изменились.

(кликните для просмотра скана)

Выпуклые оболочки для исходных данных приведены на рис. 6.8 и 6.9.

Обратим внимание на то, что в данном примере в пространстве (см. рис. 6.9) две точки (1 и 2) расположены одинаково относительно исходных точек. Однако точка 1 не попадает в число ядерных вследствие того, что в ней отношение на паре объектов «тяготеет» к исходной точке

Рис. 6.8.

Рис. 6.9.

Из таблицы 6.14 видно, что, подобно тому, как это было в примерах в обоих пространствах все точки выпуклой оболочки являются медианами, а точки ядра — к тому же и средними.

Таблица 6.14

Из приведенных в таблицах 6.14 и 6.15 данных следует, что при комплексном подходе число решений на первом уровне в 90 ограничено двумя точками и 2), а в одной точкой (2).

Пример Г2. Размещение медиан и средних для последнего примера, когда точки выпуклой оболочки в пространстве 90 из

примера являются исходными данными для поиска решений в пространстве показано в таблице 6.16.

В пространствах проблема выбора группового решения на уровне не вызывает никаких затруднений при комплексном подходе: таковым несомненно должна быть точка 2.

Таблица 6.15

Таблица 6.16

Эти примеры дают нам большинство возможных вариантов соотнесения ядерных точек, с одной стороны, и медиан и средних — с другой. Так, например, групповые решения при геометрическом подходе могут полностью содержаться в решениях метрического подхода — примеры в примеры и наоборот — примеры

в пример могут полностью совпадать примеры в пример могут не иметь общих решений пример

Из непосредственного сравнения примеров в каждой паре видно, что при метрическом подходе разнообразие (увеличение числа) исходных мнений (точек) уменьшает число возможных групповых решений, в то время как при геометрическом подходе число допустимых групповых решений определяется, вообще говоря, расположением «самых крайних» мнений. Поясним это замечание на примере В примере перечислены несколько базисов, образующих одну и ту же выпуклую оболочку (рис. 6.2). Первые два из них, а именно и являются минимальными по числу содержащих точек и составлены из таких «крайних» мнений: какие бы мнения из образуемой ими выпуклой оболочки (т. е. лежащие между этими крайними) мы не добавляли в эти базисы, ни выпуклая оболочка, ни, соответственно, ядро не изменятся.

Рассмотренные примеры являются также иллюстрацией к тому факту, что размерность ядра, и, следовательно, число точек в нем, связана не с максимальным расстоянием между исходными мнениями (точками), а с их взаимным расположением, определяющим конфигурацию выпуклой оболочки. Иллюстрацией этому служат примеры несмотря на то, что расстояние между исходными точками во втором примере меньше, чем в первом, размерность ядра во втором примере больше.

Суммируя сделанные замечания, можно сделать вывод о различной природе факторов, определяющих множества групповых решений при обоих подходах, и невозможности на данном уровне исследований установить строгие зависимости между результатами применения сравниваемых подходов.

Сравнение условий, характеризующих проблему группового выбора при обоих подходах, приводит нас к заключению, что комплексное применение геометрического и метрического подходов может, по-видимому, стать действенным средством для выделения хорошо обоснованных групповых решений, попадающих на второй уровень, где из множества допустимых групповых решений выбирается единственное решение.