§ 8.8. Нечеткие квазипорядки

Стремление использовать в теории нечетких множеств достаточно полные аналоги соответствующих четких понятий приводит нас к следующему определению.

Определение 8.12. Нечетким квазипорядком называется нечеткое предпочтение, обладающее свойствами и

В силу теоремы 8.4 нечеткие квазипорядки удовлетворяют всем условиям (8.17) — (8.21).

Пусть некоторый нечеткий квазипорядок. Тогда являются транзитивными нечеткими отношениями и определено каноническое отображение

Нашей ближайшей задачей будет установление свойств нечетких квазипорядков, аналогичных известным свойствам четких квазипорядков.

Лемма 8.10. Пусть образ строгого нечеткого предпочтения при каноническом отображении. Тогда транзитивное и антисимметричное нечеткое отношение.

Доказательство. В силу свойств и имеем

откуда следует транзитивность нечеткого отношения Далее,

в силу свойств и Антисимметричность нечеткого отношения непосредственно следует из (8.23).

Таким образом, отношение строгого продпочтения Р для нечетких квазипорядков индуцирует частичный нечеткий порядок на фактор-множестве Вообще говоря, не является линейным нечетким порядком, как это имеет место в четком случае. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие того, что индуцированное нечеткое отношение является линейным нечетким порядком.

Теорема 8.5. Образ строгого нечеткого предпочтения Р при каноническом отображении на фактор-множество тогда и только тогда является линейным нечетким порядком, когда нечеткое отношение безразличия I является четким отношением.

Доказательство. Пусть линейный нечеткий порядок на для некоторой пары элементов Тогда по лемме Согласно (8.23) имеем откуда в силу линейности нечеткого отношения Согласно лемме 8.1 отсюда следует, что

Обратно, пусть I — четкое отношение. Предположим, что Тогда в силу и, следовательно, Отсюда что и завершает доказательство.

Нечеткие квазипорядки, для которых является линейным нечетким порядком, естественно называть линейными нечеткими квазипорядками. Следующая теорема дает описание линейных нечетких квазипорядков как прообразов линейных нечетких порядков.

Теорема 8.6.

1) Пусть четкое отображение и рефлексивный линейный нечеткий порядок на Тогда прообраз нечеткого отношения является линейным нечетким квазипорядком на

2) Каждый линейный нечеткий квазипорядок на X есть прообраз некоторого рефлексивного линейного нечеткого порядка относительно подходящего четкого отображения.

Доказательство.

1) Пусть прообраз нечеткого отношения Г. Представим в виде , где антирефлексивный линейный нечеткий порядок на — четкая диагональ на

Так как четкое отображение, то

По определению силу антисимметричности имеем

откуда и является четким отношением.

Далее, в силу (8.24)

Отсюда непосредственно следует, что

Проверим выполнение свойств и Имеем

Далее

так как

Итак, мы доказали, что является линейным нечетким квазипорядком на

2) Пусть нечеткий линейный квазипорядок на образ нечеткого отношения Р при каноническом отображении Пусть , где А — четкая диагональ на

Имеем

что и требовалось доказать.

Доказанная теорема является обобщением на нечеткие отношения известной зависимости между линейными квазипорядками и оценками на множестве X (см [14]). Множество из теоремы 8.6 можно рассматривать как множество значений оценок (функций на X), а отображение как «скалярный критерий». Однако, в отличие от четкого случая теорема позволяет более тонко различать предпочтения, возникающие из оценок.

Рассмотрим следующий пример. Пусть на множестве из четырех элементов заданы две числовые оценки: (2, 3, 3, 100) и (0,9, 1,1, 1,9, 1,9). Эти две оценки порождают одинаковые четкие линейные квазипорядки с матрицей

Для описания очевидного количественного различия между предпочтениями, заданными выше оценками, воспользуемся нечетким подходом. Определим на множестве действительных чисел нечеткий линейный рефлексивный порядок Г, например, формулой

Легко видеть, что согласовано с естественным порядком на в том смысле, что «содержится в этом порядке. Вычисления (с двумя знаками) дают следующие матрицы нечетких предпочтений, соответствующих заданным оценкам:

Эти нечеткие отношения очевидным образом отражают различие между двумя заданными предпочтениями.

Таким образом, в настоящей главе описаны и исследованы структура нечетких бинарных отношений безразличия и предпочтения. С точки зрения проблемы группового выбора этими отношениями представляются индивидуальные мнения экспертов. Используя общий подход, развитый в предыдущих главах для четких отношений, мы в дальнейшем обратимся к изучению совокупностей нечетких бинарных отношений, которые также будут называться пространствами нечетких бинарных отношений.