§ 5.4. Построение ядра в пространстве PO

Из результатов главы IV, опираясь на два определения понятия «между», можно получить точные алгоритмы для построения выпуклой оболочки исходного множества предпочтений, чтобы затем для этой оболочки построить ядро. Однако основную

задачу — построение ядра — можно решить, не используя описания всего выпуклого множества. Опишем алгоритм построения ядра.

Пусть множество точек в пространстве которые мы интерпретируем как индивидуальные предпочтения, и выпуклая оболочка множества М. Пусть Обозначим для каждого через максимальный элемент в Р, содержащий Для некоторых может быть или Теорема 5.3. Отношение есть ядерное отношение для и ядро состоит из всех точек, лежащих между

Доказательство. Покажем сначала, что совпадает с выпуклой оболочкой множества Так как таким образом, все принадлежат выпуклой оболочке Согласно лемме 4.1 отсюда следует, что

Так как то т. е. Так как и то снова согласно лемме откуда следует доказываемое утверждение

Из этого равенства с учетом очевидной максимальности всех следует, что множество есть базисное множество, откуда и следует утверждение теоремы. Эта теорема (в «двойственной» формулировке) справедлива также и в пространстве

Интерес к ядру, построенному в этой теореме, вызван тем, что базис, на основе которого строится ядро, порождается исходной совокупностью точек Поэтому с точки зрения геометрического подхода это ядро отражает индивидуальную структуру исходного набора предпочтений, а не структуру произвольного базиса, порождающую то же выпуклое множество.

Исходя из свойств максимальных элементов и доказательства теоремы 5.3, легко описать алгоритм поиска максимального элемента ближайшего к данному . Для исходной совокупности индивидуальных предпочтений определим отношение Затем для каждого Р, ищем максимальный элемент,

добавляя к по одной паре предпочтений из и проверяя полученное отношение на транзитивность. Процесс продолжается до тех пор, пока какую бы пару мы ни добавляли, транзитивное отношение не получается. Если такой пары предпочтений в не нашлось, то, следовательно, есть уже максимальная точка.