Глава X. ПРОСТРАНСТВО НЕЧЕТКИХ ЧАСТИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

В этой главе мы будем изучать пространство нечетких частичных порядков (сокращенно 330), т. е. множество всех нечетких бинарных отношений частичного порядка на фиксированном множестве А. Для этого пространства, в силу достаточно простой структуры нечеткого бинарного отношения частичного порядка, удается получить более глубокие результаты, чем для произвольных пространств нечетких бинарных отношений (гл. IX). В частности, на пространстве будет исследована метрическая структура, доказана полнота этого пространства, и на основе этого построена теория выпуклых оболочек и ядер в этом пространстве.

§ 10.1. Полнота пространства FPO

В главе IX было доказано, что полнота пространства нечетких отношений является достаточным условием для совпадения понятий выпуклая оболочка и множество точек Парето. Понятие «полнота» существенно не только для решения проблемы группового выбора, т. е. описания точек Парето, но и для наиболее простой реализации метрического подхода.

Перейдем теперь к исследованию условия полноты в пространстве Для доказательства полноты пространства в силу определения 9.8 необходимо для любой пары различных точек пространства построить основу некоторого линейного сегмента между точками Установим справедливость следующего вспомогательного утверждения.

Лемма 10.1. Пересечение любого множества отношений нечеткого частичного порядка есть нечеткий частичный порядок.

Доказательство. Пусть произвольная совокупность нечетких частичных порядков. Их пересечение Р есть нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности

Очевидно, что Р — антирефлексивно, Докажем транзитивность Р. В силу транзитивности каждого имеем для любого

что и требовалось доказать.

Как следует из доказанной леммы, для установления полноты пространства достаточно построить основу линейного сегмента между точками для случая, когда Действительно, частичный порядок содержится и в Р и в и лежит между Поэтому объединение линейных сегментов между Р и и между и дает нам линейный сегмент между

Лемма 10.2. Пусть Тогда существует точка в пространстве соседняя к и такая, что

Доказательство. Пусть — нумерация, согласованная с Очевидно, что эта нумерация будет согласована и с Р. Выберем наибольшее такое, что существует такое, что а. Так как то такое существует. Положим Выберем наименьшее такое, что Положим Определим следующим образом функцию принадлежности отношения Р:

Покажем, что Р — частичный порядок. Очевидно, что Р — антирефлексивное отношение. Для доказательства транзитивности установим, что

выполняется для всех отличных друг от друга. Рассмотрим все возможные, случаи.

1) Среди пар нет пары Тогда следует из транзитивности

2) Имеем

3) . Имеем

4) . Предположим, что

или

Тогда Пусть Тогда имеем так как Так как

В силу транзитивности имеем

Полученное противоречие показывает, что в случае (4) снова выполнено, что и завершает доказательство леммы 10.2.

Замечание. Отметим, что построенная при доказательстве леммы 10.2 точка Р обладает следующим важным свойством: мощность множества пар котором на единицу меньше мощности множества пар на котором

Из последнего замечания следует, что за конечное число шагов, пользуясь конструкцией из доказательства леммы 10.2, можно построить последовательность точек Точки образуют, очевидно, основу линейного сегмента, который в силу рассуждений, предваряющих лемму 9.4, определяется ими однозначно.

Итак, нами доказана следующая

Теорема 10.1. Пространство является полным пространством.

Тем самым для справедливы все результаты для полных пространств, полученные в предыдущем параграфе. Именно,

и

где произвольное множество в пространстве частичных порядков