§ 1.2. Геометрический подход

Богатство геометрических структур в моделях для различных отношений предпочтения не исчерпывается одной метрической структурой. В качестве примера можно указать на работы [17, 18], посвященные изучению топологических структур на множествах предпочтений. Большой интерес представляет структура выпуклости, которую можно определить во множестве предпочтений. Наше основное внимание, начиная с главы III, будет посвящено общему изучению этой структуры.

Интерес к выпуклым структурам продиктован, во-первых, простыми аналитическими соображениями. Поскольку неадекватные операции по обработке измерений в шкале порядка все-таки применяются, то исследовался вопрос о том, как результаты применения этих операций соотносятся (геометрически) с исходными данными [19]. Отметим, что неадекватная арифметическая обработка качественных данных (определяемых в общем случае значениями представляющих функций) с помощью произвольных математических средних, дает результат, принадлежащий выпуклой оболочке исходных данных. Во-вторых, выпуклые структуры, как показывают проводимые далее исследования, помогают раскрыть качественно новые и важные эмпирические связи в практическйх приложениях.

Для терминологического различения в нашем подходе вместо понятия метрической модели используется понятие пространства как множества всех возможных на фиксированной совокупности объектов отношений данного типа, наделенного структурой выпуклости.

Единственным общим понятием метрического и развиваемого в настоящей работе подхода является понятие «между», используемое при определении структуры выпуклости. Главное «техническое» отличие рассматриваемого здесь подхода к анализу индивидуальных отношений предпочтения от аналитических методов,

используемых в метрическом подходе, заключается в последовательном использовании исключительно геометрических понятий и структур. Естественно, что при построении алгоритмов, реализующих развиваемый подход, и интерпретации результатов его практического использования мы оперируем только геометрическими (внутренними относительно рассматриваемых пространств) понятиями, что дает основание весь подход в целом назвать геометрическим подходом к анализу индивидуальных отношений предпочтения.

В заключение этого параграфа остановимся на одном обстоятельстве, связанном с общей методологией решения проблемы группового выбора. В канонической теории принятия решений под групповым выбором понимается задание такой функции, которая исходному множеству индивидуальных предпочтений ставит в соответствие одно единственно групповое предпочтение. Вопросы существования и свойств таких функций обсуждались в литературе очень широко [1—5, 13—15, 20—23], и они не входят в круг рассматриваемых здесь вопросов. Отметим лишь, что в большинстве исследованных случае попытки построения функции группового выбора, как правило, приводили либо к ее неоднозначности, либо к доказательству того, что при постулированных условиях такой функции не существует (теорема Эрроу о «невозможности»). Так, в метрической модели в качестве группового выбора используют медиану или среднее, которые определяются неоднозначно. Кроме того, если пытаться рассматривать, например, множество всех медиан для исходной совокупности точек, то описание этого множества наталкивается на существенные аналитические трудности.

В этой связи общую проблему группового выбора предлагается рассматривать на двух уровнях общности.

На первом уровне целесообразно полностью абстрагироваться от конкретного физического содержания решаемой практической задачи (в частности — от конкретных шкал, в которых произведены измерения) и рассматривать индивидуальные суждения как наборы точек в некоторой модели или пространстве. Как указывалось в § 1.1, при этом подходе полностью снимаются вопросы, связанные с решением проблемы адекватности в данной шкале. При рассмотрении задачи группового выбора в такой модели или пространстве нет оснований требовать от функции группового выбора однозначности. Более естественным представляется подход, при котором исходному набору индивидуальных суждений ставится в соответствие некоторое множество альтернатив, в определенном смысле допустимых для поиска среди них группового решения. К такому же результату, как это будет показано ниже, приводит также содержательное и формальное исследование понятий выпуклой оболочки множества исходных предпочтений и

некоторого выпуклого подмножества этой оболочки — так называемого «ядра».

На втором уровне общности рассматривается задача построения функции группового выбора, которая учитывает все специфические особенности задачи. Сюда входит, например, учет компетентности экспертов, учет всех параметров, по которым производится оценивание, процедурные вопросы, предпочтения лица, выбирающего окончательное решение и т. п. Несмотря на то, что в каждой конкретной ситуации, по-видимому, удается найти групповое решение, задача построения на этом уровне общей функции группового выбора представляется бесперспективной. Заметим, что числовые данные, которые получаются в результате измерений в определенных шкалах, являются данными для решения задачи группового выбора на втором уровне.

Предлагаемый нами подход позволяет решать задачу агрегирования на первом из указанных выше уровней. Применение разработанных методов позволяет опираясь на исходную совокупность индивидуальных предпочтений, выделить некоторое множество «допустимых» групповых решений. Задача нахождения единственного группового решения может рассматриваться как задача выбора из этого множества «допустимых» решений на втором уровне, т. е. с учетом всех специфических условий.