Глава I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ ГРУППОВОГО ВЫБОРА

Проблема агрегирования индивидуальных суждений о порядке предпочтений на конечном множестве исследуемых объектов в содержательном плане состоит в нахождении такого суждения, которое было бы «средним» относительно исходных или другими словами, находилось бы «в середине между ними». Для поиска и оценки суждений, претендентов на роль такого среднего, часто используется метрический подход. При этом подходе исходные данные задачи агрегирования, например, «погружаются» в подходящую абстрактную модель, скажем, взятую из физики модель пространственного расположения единичных масс, и задачу нахождения среднего трактуют как задачу нахождения центра тяжести. Подобный прием был использован, например, в работе Кемени и Снелла [1], в которой было введено понятие расстояния между суждениями, а в качестве среднего выбиралось суждение, сумма расстояний до которого от исходных суждений минимальна. Именно с этим метрическим подходом будет производиться сравнение подхода, развиваемого в данной работе.

Отметим, что для решения проблемы агрегирования индивидуальных предпочтений используются и некоторые другие подходы, в книге не рассматриваемые. Среди них можно упомянуть аксиоматический подход [2—5] и статистические методы [7—9],

В этой главе мы попытаемся выявить причины обращения к метрическим моделям и пространствам предпочтений при решении проблемы группового выбора. При этом будет показано, что к понятию модели приводят два пути, использующие различные способы представления индивидуальных предпочтений. Кроме того, такое рассмотрение позволит понять некоторые аспекты метрического подхода к проблеме группового выбора, присущие также и развиваемому подходу.

§ 1.1. Представление предпочтений

Этапу обработки индивидуальных предпочтений неизбежно предшествует этап измерений самих предпочтений. В современной науке под измерением понимают строгую и для данного вида измерений почти всегда воспроизводимую с «близким» результатом процедуру, при которой измеряемое свойство объекта (признак, фактор) сравнивается с некоторым эталонным его проявлением и в результате получается число, характеризующее степень выраженности исследуемого свойства. Такая трактовка измерения заимствована из классической физики и относится к случаю, когда исследуемые свойства обладают количественной природой или мы умеем их наделять таковой, как, например, в случае измерения количества тепла.

В случае качественных свойств корректно говорить об измерении, если в приведенной выше трактовке понятия «измерение» переставить некоторые акценты. Поскольку структура качественных свойств, как правило, «неосязаема», то «легализация» свойств начинается — явно или неявно — с построения некоторого соответствия между совокупностью наших содержательных представлений о природе свойств и описанием этой совокупности в точных терминах.

В теории измерений качественных свойств [10, 11] такое «описание в точных терминах» структуры исследуемых свойств производится с использованием понятия системы с отношениями. При этом, говоря, что свойство имеет определенную структуру, подразумевают любую структуру, детерминированную эмпирическими связями между эмпирическими объектами. Этот общий подход распространяется также на случай «эмпирических отношений», которые являются субъективными утверждениями об отношениях между эмпирическими объектами. Когда имеют дело с качественными свойствами, объектом измерения как раз и являются эмпирические отношения, а результат выражается через посредство субъективных утверждений об измеряемых отношениях. Под самим измерением понимают в этом случае установление соответствия между эмпирической и некоторой числовой системами с отношениями, а под шкалой — совокупность из обеих систем с отношениями и соответствия между ними.

Рассмотренную ситуацию формально можно описать следующим образом. Пусть А — конечное множество объектов, называемое носителем системы. Объекты из А являются носителями исследуемого свойства (признака, фактора). Множество А вместе с фиксированным на нем множеством отношений называется системой с отношениями и обозначается В зависимости от того, какова природа объектов и отношений (эмпирическая или числовая), система

с отношениями называется эмпирической или числовой системой с отношениями соответственно. Простейшей эмпирической системой с отношениями, служащей основанием для шкал наименований, является система где есть отношение эквивалентности.

В большинстве встречающихся на практике случаев измерение качественных свойств производится в шкалах порядка, приводящих к представлению результатов измерений в виде ранжирований. В этом случае эмпирическая система с отношениями содержит по крайней мере отношения эквивалентности и порядка такие, что соответствующая система с отношениями представляет собой упорядоченное множество. Примером такой системы может служить множество индивидуумов, сравниваемых, скажем, по уровню умственных способностей.

На языке введенных понятий теории измерений отображение называется шкалой порядка, если монотонно возрастающее преобразование, где эмпирическая система с отношениями эквивалентности и строгого предпочтения числовая система с отношениями равенства порядка Такое отображение называется гомоморфизмом системы.

Широкое использование шкал порядка в практике получения данных об индивидуальных предпочтениях объясняет интерес многих исследователей к методам обработки измерений в этих шкалах, в том числе и при поиске групповых предпочтений. Поэтому естественно обращение к теории, в рамках которой рассматриваются условия, налагаемые на методы обработки измерений в различных шкалах, т. е. обращение к теории измерений.

Отметим далее, что, вообще говоря, существует целый класс шкал, отображающих данную эмпирическую систему в числовую. Эти шкалы между собой связаны допустимыми преобразованиями, которые переводят данную шкалу в экви/валентные ей шкалы.

Для шкалы порядка класс допустимых преобразований составляют все монотонно возрастающие преобразования, ими же ограничиваются и возможности обработки результатов измерений в этой шкале. По этой причине многие традиционные способы обобщенного описания (осреднения) результатов таких измерений непригодны, поскольку для статистик, включающих средние стандартные отклонения, знание лишь порядка следования недостаточно. К допустимым статистикам в данном случае относятся только квантили и процент присвоения данному объекту определенного ранга, чего явно недостаточно для решения практических задач.

Таким образом, обращение к теории измерений позволяет нам только выявить те ограничения, которые необходимо соблюдать при «арифметической» обработке индивидуальных суждений

о порядке предпочтений на исследуемых объектах, и практически не дает нам никаких средств, позволяющих находить групповое предпочтение. Поэтому невольно возникает мысль искать такое представление для измерений предпочтений, которое, с одной стороны, гарантировало бы удовлетворение выявленных ограничений на методы обработки измерений, а с другой стороны, давало бы возможность применения других «неарифметических» методов обработки измерений.

В соответствии с тем, что исходными данными в проблеме агрегирования служат совокупности индивидуальных отпошений предпочтения, мы будем рассматривать совокупности из индивидуальных суждений о порядке предпочтений на множестве Поэтому числовая система которую мы будем рассматривать, состоит из -мерного линейного пространства носителя числовой системы и совокупности из отношений предпочтения на причем отношение задается сравнением двух векторов из по величине координаты.

Любой гомоморфизм эмпирической системы в выбранную числовую систему задается функцией которая каждому объекту из эмпирической системы ставит в соответствие точки в носителе числовой системы, т. е. точки в пространстве Задающие эти гомоморфизмы числовые функции называются представляющими функциями Для системы представляющие функции являются действительными -мерными вектор-функциями. Построенная шкала определяется упорядоченной тройкой

Для данных эмпирической и числовой систем могут существовать различные представляющие функции Обозначим через Ф преобразование, связывающее два некоторых гомоморфизма данной эмпирической системы в числовую систему. Это преобразование задает изоморфизм числовой системы на себя. Для системы 31 такие изоморфизмы могут, например, задаваться монотонными преобразованиями координат векторов из причем каждая координата подвергается своему монотонному преобразованию. Множество всех изоморфизмов образует группу Ф.

Рис. 1.4.

Мы скажем, что две шкалы принадлежат шкалам одного и того же типа Ф, если существует такое среф, что диаграмма на рис. 1.1 коммутативна.

Рассмотрим теперь векторное пространство Е всех функций на А со значениями в Размерность Е равна Для

каждой фиксированной системы множество ее представляющих функций является подмножеством в пространстве Е. Пространство Е будем называть пространством шкал. Группа Ф действует на пространстве шкал Е как группа взаимнооднозначных преобразований. Именно, каждой ставится в соответствие для Все пространство распадется на орбиты относительно группы Ф, т. е. представляется в виде объединения непересекающихся минимальных подмножеств. Каждая такая орбита состоит из множества всех представляющих функций для некоторой системы и, наоборот, для каждой системы множество всех ее представляющих функций составляет орбиту группы Ф. Тем самым между множеством орбит пространства шкал Е и множеством всех эмпирических систем установлено взаимнооднозначное соответствие. Каждую орбиту в Е можно задать с помощью уравнений и неравенств.

В теории измерений вопросы обработки данных исследуются в связи с так называемой проблемой адекватности. Проблема адекватности возникает в общем случае при рассмотрении вопроса о том, какие отношения в числовой системе соответствуют «истинным» отношениям в эмпирической системе. Простые примеры показывают, что не любые отношения между результатами измерений соответствуют «истинным» отношениям между объектами. Более того, указания на некоторые отношения между измерениями могут оказаться бессмысленными без указания на то, в какой шкале были произведены измерения. Например, справедливость числового утверждения, что квадрат массы одного тела меньше массы другого тела, зависит от шкалы измерения масс. Другими словами, возникает проблема адекватности операций, которые производятся над измерениями, тем отношениям, которые существуют в эмпирической системе.

Общий подход к определению адекватности намечен в [101. Принимая во внимание, что основной объект наших рассмотрений — это совокупности утверждений о порядке предпочтений, определение адекватности мы дадим здесь в удобной для нас форме.

Прежде всего условимся, что под числовым утверждением для системы будем понимать отношение или набор отношений вида где некоторая числовая функция на одно из отношений (например, .

Определение 1.1. Числовое утверждение называется адекватным, если для любого отношения эквивалентны.

Рассмотрим множество тех , для которых выполняется Наше определение требует, чтобы это множество было иивариантным относительно преобразований Геометрически это означает, что это множество — объединение некоторого числа орбит пространства Е. Последнее вытекает из следующего утверждения, которое в дальнейшем будет существенно использоваться.

Утверждение 1.1. Для того чтобы числовое утверждение было адекватно, необходимо и достаточно, чтобы множество тех х, для которых справедливо, было объединением некоторого числа орбит.

Доказательство этого утверждения в силу его тривиальности мы опускаем.

Для иллюстрации понятия адекватности разберем три примера.

Пример 1.1 [10]. Дано проверяется адекватность числового утверждения Для этого примера -мерное пространство, отношение Рассматривается шкала отношений. Так как для этого типа шкал допустимые преобразования — это преобразования подобия то для этой шкалы орбитами в пространстве Е будут лучи, выходящие из начала координат. Неравенство определяет полупространство в пространстве Е, которое, естественно, представляется объединением некоторого множества орбит. В силу утверждения 1.1 рассматриваемое числовое утверждение адекватно шкале отношений.

Пример 1.2. Исследуем то же самое утверждение в шкале интервалов, допустимые преобразования в которой составляют линейные положительные преобразования

Рассмотрим орбиту точки Тогда для любой точки принадлежащей орбите имеем или, в координатной записи, Вектор Если пропорционален 1, то X пропорционален 1 тоже, поэтому орбитой такой точки будет Если же это не выполняется, то множество векторов X (орбита заполняет полуплоскость, проходящую через прямую и вектор Пространство Е в этом случае расслаивается на множество плоскостей (орбит), опирающихся на орбиту Для того чтобы было адекватно, согласно утверждению 1.1 необходимо, чтобы определяемое этим неравенством полупространство представлялось в виде объединения некоторого числа описанных полуплоскостей. Это не так в силу того, что направляющий вектор этого полупространства (1, 1, —1) не ортогонален направляющему вектору (1, 1, 1) орбиты Полупространство, определяемое неравенством пересекает каждую орбиту и ни одной не содержит целиком. Следовательно, утверждение неадекватно в шкале интервалов.

Пример 1.3 [12] мы «оживим» фабулой из экспертной практики. Пусть два эксперта производят упорядочение трех объектов а В качестве основания числовой системы используется множество натуральных чисел от 1 до 10. В таблице 1.1 приведены оценки , отражающие степени предпочтения экспертов.

Определим понятие обобщенного среднего по Колмогорову:

где строго монотонная функция, обратная к ней. Зададимся целью выбрать одно из возможных средних для описания «среднего» группового упорядочения. Подсчитаем значения для четырех наиболее распространенных видов средних: квадратичного, арифметического, геометрического и гармонического (см. таблицу 1.2, где для наглядности эти значения приводятся с точностью до постоянных множителей).

Таблица 1.1

Таблица 1.2

Из таблицы 1.2 непосредственно видно, что выбранные средние дают нам четыре различных групповых упорядочения, из которых никакое не имеет очевидного преимущественного права представлять совокупность исходных упорядочений.

В соответствии с определением 1.1 для того чтобы определить пригодность того или иного среднего представлять всю совокупность исходных упорядочений, нужно проверить адекватность набора утверждений, состоящего из совокупности исходных упорядочений и утверждения, полученного на основе выбранного среднего. Упорядочения должны быть записаны в виде числовых утверждений. Так, например, для среднего арифметического нужно рассматривать следующий набор числовых утверждений:

Легко привести пример, когда значение истинности утверждения изменяется в результате применения монотонного преобразования. Рассмотрим кусочно-линейную монотонную функцию, которая оставляет на месте точки и 10, а точку 9 переводит в точку 6 (рис. 1.2). Тогда два

первых неравенства в системе не изменятся, а третье примет вид

что соответствует изменению среднего упорядочения с на следовательно, значение истинности утверждения изменится. Отсюда следует известный факт: среднее арифметическое неадекватно в шкале порядка. Легко привести примеры, показывающие, что другие виды обобщенных средних тоже неадекватны.

Рис. 1.2.

Возникает вопрос, почему использование обобщенных средних для характеристики совокупностей ранжировок дает разные результаты. Глубокая причина этого заключается в том, что при такой обработке ранги или значения представляющих их функций выступают в роли количественной меры оцениваемых объектов, тогда как, по существу, они являются только метками, позволяющими лишь расставить объекты в соответствии с предпочтениями оценивающих их экспертов.

Последовательное развитие этого замечания приводит к заключению, что под измерением в шкале порядка следует понимать в общем случае не значение представляющей функции на объекте, а всю ранжировку в целом. Другими словами, каждое отдельное измерение в шкале порядка множеству оцениваемых объектов ставит в соответствие некоторое бинарное отношение, например, квазипорядок. На введенном выше языке орбит это означает, что порядковая информация о каждой орбите в пространстве шкал Е представляется соответствующим орбите квазипорядком.

Установление изоморфизма между множеством орбит в пространстве шкал и множеством всех возможных (на фиксированном носителе А) отношений данного типа позволяет, следовательно, каждую орбиту заменить ее математической моделью — точкой, помеченной соответствующим орбите отношением. Заметим, что орбиты в пространстве шкал располагаются определенным образом, т. е. в каждом отдельном случае (см. примеры 1.1 и 1.2) в их расположении есть определенная структура. Для наведения на множестве помеченных точек структуры, удобной для наших дальнейших рассмотрений, естественно обратиться к привычному, сложившемуся геометрическому представлению о расстоянии. Таким образом, определение на множестве всех бинарных отношений данного типа метрической структуры дает возможность

исследовать совокупность индивидуальных предпочтений в рамках метрической модели.

Такая модель, следовательно, имеет два геометрических представления. Одно, как бы внешнее относительно модели, является следствием показанного изоморфизма между моделью и пространством шкал Е, другое, внутреннее, индуцируется метрической структурой в самой модели.

Представление измерений в шкале порядка точками в модели заведомо снимает проблему адекватности, поскольку при работе внутри модели исходные точки уже не затрагиваются, не сдвигаются: все дальнейшие операции производятся лишь с внутренней относительно модели характеристикой взаимного расположения точек — попарными расстояниями между ними. Проблема группового выбора решается при этом указанием такой точки Т модели, в которой достигается минимум суммы расстояний или суммы квадратов расстояний от Т до данных точек [1, 13—15].

При анализе данной совокупности ранжировок сами ранжировки не подвергаются обработке — функция расстояния обеспечивает основные данные, на которых уже работают самые разные аналитические аппараты.

Достоинства метрических моделей выявляются в приложениях к многообразным теоретическим и практическим задачам в различных областях от «чистой» математики до полевых социологических исследований. Однако, как отмечается, например, в [16], существуют некоторые трудности использования таких моделей при анализе совокупностей экспертных суждений и поиске группового решения.

Как указывается в [16], недостатки данных о расстоянии с первого взгляда не кажутся очевидными. Для двух или другого небольшого числа ранжировок расстояния между ними или до какой-либо внутренней точки модели еще дают представление о структуре связей между ними. Однако, при большом числе оцениваемых объектов и большом числе исходных ранжировок никакого реального представления об их расположении и структуре связей составить невозможно. Ценность анализа таких данных, например, методами факторного анализа или распознавания образов в значительной степени зависит уже от искусства, проявляемого исследователем при интерпретации результатов применения этих методов.

При построении метрической модели приходится вводить и определять довольно много понятий: «между», линейный сегмепт, путь, масштаб расстояния. При этом модель наделяется теми характеристиками, которые были использованы в определяемых понятиях и вводимых аксиомах. Второй недостаток метрической модели как раз и состоит в том, что при аксиоматическом определении функции расстояния вводятся положения, не всегда имеющие эмпирическое обоснование или подтверждение. К таким положениям можно отнести, например, условия равноправия объектов и равноценности места в ранжировании или связь масштаба расстояния с числом оцениваемых объектов для метрики в пространстве разбиений.