Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙПри обсуждении основных положений геометрического подхода в главе I мы уже отмечали, что в настоящее время наиболее распространенным является подход, пр котором для решения задачи группового выбора в пространстве отношений данного типа вводится метрическая структура. Она вводится на основе общих сложившихся геометрических представлений и концепций. В основе вводимых расстояний лежит система аксиом, одна из которых вводит важное геометрическое понятие «между». Это понятие является единственным общим понятием для метрического и разрабатываемого здесь геометрического подхода. Понятие «между» лежит в основе теоретических построений в геометрическом подходе и в нашем контексте несет естественную смысловую нагрузку, например, в утверждениях типа «одно отношение предпочтения лежит между двумя другими» или в заданиях вида «найти отношение предпочтения, лежащее между данными». Эти высказывания не содержат в себе ничего необычного. Ситуация, стоящая за ними, чрезвычайно жизненна и с давних времен привлекает к себе внимание. Для примера укажем на, по-видимому, первую и простейшую как по форме, так и по содержанию постановку задачи принятия решения, сформулированную (как принято считать), в первой половине XIV века французским философом Ж. Буриданом в известной притче об осле: осел, очутившись между двумя совершенно одинаковыми охапками сена не мог ни одну из них предпочесть другой, т. е. решить, какую из них выбрать, и околел от голода. Несмотря на, казалось бы, шутливый характер этого примера, можно сказать, что изложенная в нем в аллегорической форме ситуация выбора с незначительными вариациями составляет основу доброй половины задач, решаемых с помощью экспертов. Другая половина представляет собой «зеркальное отражение» этой ситуации в том смысле, что организаторы экспертиз хотят попасть в положение героя притчи, т. е. найти решение, которое лежало бы одновременно между всеми суждениями экспертов. (Пожалуй, и в наше время привлечение большинства современных научных методов для решения задачи «буриданова осла» вряд ли помогло бы последнему избежать летального исхода, исключая разве что только голосование при нечетном числе экспертов и запрете воздерживаться от голосования.) В обычной евклидовой геометрии мы имеем представление о расположении одной точки пространства между двумя другими: точка А лежит между точками Наш особый интерес к понятию «между» связан с тем, что при согласовании индивидуальных предпочтений групповое решение естественно искать среди множества всех тех предпочтений, которые расположены «в середине между» исходными предпочтениями. Такие, лежащие между исходными, множества предпочтений названы в данной работе выпуклыми множествами. В этой главе теория выпуклых множеств строится для произвольных пространств бинарных отношений. В дальнейшем мы не будем различать точки пространства и соответствующие им бинарные отношения. Всюду в этой главе рассматривается фиксированное пространство § 4.1. Отношение «между»Начнем изучение структур пространств предпочтений с введения двух определений понятия «между». Определение 4.1. Отношение
То обстоятельство, что отношение Первое определение понятия «между» для случая трех отношений пересечение этих отношений), и само содержаться в отношении, аккумулирующем Введенное определение «между» допускает естественное обобщение на случай произвольного числа отношений. Определение 4.2. Отношение
Запись Понятие «между» определяет некоторую геометрическую структуру пространства Докажем вспомогательное утверждение, устанавливающее связь двух определений «между». Пусть Лемма 4.1. Пусть Доказательство. Согласно определению 4.2 имеем
Согласно определению 4.1
Из выписанных включений следует
откуда Следствие. Пусть Пусть Определение 4.3. Линейным сегментом между
3. из Две различные точки Теорема 4.1. В произвольном пространстве бинарных отношений Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму. Лемма 4.2. Пусть Доказательство. Пусть Покажем, что
и
Из этих включений имеем
и
Отсюда Доказательство теоремы 4.1. Пусть соседняя точка к А, лежащая между Покажем, что построенная последовательность точек задает линейный сегмент между
Используя эти включения, получаем
и
откуда следует, что Введенное в этом параграфе понятие линейного сегмента является аналогом привычного геометрического понятия отрезка прямой, соединяющей две заданные точки. Существенное отличие состоит в том, что, вообще говоря, существуют различные линейные сегменты, соединяющие две заданные точки. Это обстоятельство накладывает специфический оттенок на интерпретацию геометрических построений в пространствах бинарных отношений.
|
1 |
Оглавление
|