Глава IV. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

При обсуждении основных положений геометрического подхода в главе I мы уже отмечали, что в настоящее время наиболее распространенным является подход, пр котором для решения задачи группового выбора в пространстве отношений данного типа вводится метрическая структура. Она вводится на основе общих сложившихся геометрических представлений и концепций. В основе вводимых расстояний лежит система аксиом, одна из которых вводит важное геометрическое понятие «между». Это понятие является единственным общим понятием для метрического и разрабатываемого здесь геометрического подхода.

Понятие «между» лежит в основе теоретических построений в геометрическом подходе и в нашем контексте несет естественную смысловую нагрузку, например, в утверждениях типа «одно отношение предпочтения лежит между двумя другими» или в заданиях вида «найти отношение предпочтения, лежащее между данными». Эти высказывания не содержат в себе ничего необычного.

Ситуация, стоящая за ними, чрезвычайно жизненна и с давних времен привлекает к себе внимание. Для примера укажем на, по-видимому, первую и простейшую как по форме, так и по содержанию постановку задачи принятия решения, сформулированную (как принято считать), в первой половине XIV века французским философом Ж. Буриданом в известной притче об осле: осел, очутившись между двумя совершенно одинаковыми охапками сена не мог ни одну из них предпочесть другой, т. е. решить, какую из них выбрать, и околел от голода. Несмотря на, казалось бы, шутливый характер этого примера, можно сказать, что изложенная в нем в аллегорической форме ситуация выбора с незначительными вариациями составляет основу доброй половины задач, решаемых с помощью экспертов. Другая половина представляет собой «зеркальное отражение» этой ситуации в том смысле, что организаторы экспертиз хотят попасть в положение героя притчи, т. е. найти решение, которое лежало бы

одновременно между всеми суждениями экспертов. (Пожалуй, и в наше время привлечение большинства современных научных методов для решения задачи «буриданова осла» вряд ли помогло бы последнему избежать летального исхода, исключая разве что только голосование при нечетном числе экспертов и запрете воздерживаться от голосования.)

В обычной евклидовой геометрии мы имеем представление о расположении одной точки пространства между двумя другими: точка А лежит между точками , если она лежит на отрезке прямой, соединяющей при этом сумма расстояний от точйи А до точек равна расстоянию между В терминах понятия расстояния между отношениями тот факт, что отношение А находится между отношениями характеризуется аналогично. Различие в природе евклидова пространства и пространства отношений в последнем случае проявляется в определении понятия «линейный сегмент», заменяющего для пространств отношений понятие «отрезок прямой».

Наш особый интерес к понятию «между» связан с тем, что при согласовании индивидуальных предпочтений групповое решение естественно искать среди множества всех тех предпочтений, которые расположены «в середине между» исходными предпочтениями. Такие, лежащие между исходными, множества предпочтений названы в данной работе выпуклыми множествами.

В этой главе теория выпуклых множеств строится для произвольных пространств бинарных отношений. В дальнейшем мы не будем различать точки пространства и соответствующие им бинарные отношения. Всюду в этой главе рассматривается фиксированное пространство Если это особо не оговорено, то мы считаем, что все рассматриваемые точки принадлежат этому пространству.

§ 4.1. Отношение «между»

Начнем изучение структур пространств предпочтений с введения двух определений понятия «между».

Определение 4.1. Отношение лежит между отношениями если

То обстоятельство, что отношение лежит между отношениями будет записываться так:

Первое определение понятия «между» для случая трех отношений содержательно означает, что отношение Я, если оно лежит между отношениями должно содержать то общее, что есть в отношениях (т. е. содержать в себе

пересечение этих отношений), и само содержаться в отношении, аккумулирующем Эта интерпретация становится совершенно прозаической, если в ней всюду слово «отношение» заменить на одно из синономичных в данном контексте слов: «суждение», «мнение», «высказывание».

Введенное определение «между» допускает естественное обобщение на случай произвольного числа отношений.

Определение 4.2. Отношение лежит между отношениями если

Запись будет обозначать, что точка лежит между точками

Понятие «между» определяет некоторую геометрическую структуру пространства Наряду с этой структурой в пространстве имеется структура частично упорядоченного множества. Именно, предпочтение предшествует (нестрого) предпочтению если Это отношение частичного порядка на индуцирует отношение частичного порядка на любом подмножестве в В дальнейшем, говоря о максимальных и минимальных элементах различных подмножеств в пространстве мы будем иметь в виду минимальные и максимальные элементы этих подмножеств относительно этого порядка. Структура «между» и структура порядка на согласованы в том смысле, что из следует, что

Докажем вспомогательное утверждение, устанавливающее связь двух определений «между». Пусть точки пространства

Лемма 4.1. Пусть для Тогда

Доказательство. Согласно определению 4.2 имеем

Согласно определению 4.1

Из выписанных включений следует

откуда что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть лежат между Тогда любое лежащее между лежит также и между

Пусть две различные точки в пространстве

Определение 4.3. Линейным сегментом между назовем последовательность различных точек такую, что

3. из следует, что либо либо

Две различные точки назовем соседними, если они сами образуют линейный сегмент. Очевидно, что между соседними точками не лежит ни одна точка, отличная от них. Линейный сегмент является последовательностью соседних точек, лежащих «между» двумя данными и «соединяющей» их.

Теорема 4.1. В произвольном пространстве бинарных отношений для любой пары различных точек существует линейный сегмент между ними.

Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму.

Лемма 4.2. Пусть различные точки в пространстве Существует точка, лежащая между и соседняя к

Доказательство. Пусть Согласно следствию из леммы 4.1 множество всех точек, лежащих между содержится в множестве точек, лежащих между

Покажем, что Предположим противное. Тогда справедливы включения

и

Из этих включений имеем

и

Отсюда что противоречит условию Итак, множество точек, лежащих между строго содержится в множестве точек, лежащих между Так как множество точек, лежащих между конечно, то отсюда непосредственно следует утверждение леммы.

Доказательство теоремы 4.1. Пусть точки пространства Положим и определим как соседнюю к точку, лежащую между Как показано в лемме 4.2, такая точка существует. Если то теорема доказана. В противном случае мы применяем предыдущее рассуждение к точкам и По индукции, пусть есть

соседняя точка к А, лежащая между Легко видеть, что на некотором шаге мы получим Согласно следствию из леммы 4.1, все построенные точки лежат между

Покажем, что построенная последовательность точек задает линейный сегмент между Очевидно, достаточно проверить выполнение условия 2 из определения 4.3. Пусть такие, что Из построения последовательности точек следует, что т. е. справедливы включения

Используя эти включения, получаем

и

откуда следует, что что и требовалось доказать.

Введенное в этом параграфе понятие линейного сегмента является аналогом привычного геометрического понятия отрезка прямой, соединяющей две заданные точки. Существенное отличие состоит в том, что, вообще говоря, существуют различные линейные сегменты, соединяющие две заданные точки. Это обстоятельство накладывает специфический оттенок на интерпретацию геометрических построений в пространствах бинарных отношений.