§ 12.2. О понятии эталона. Эталонное отношение в четком случае

В естественных науках под эталонами понимают нечто, принимаемое как образец, стандарт, критерий, модель, пример или правило для сравнения или сопоставления с эквивалентными объектами. В качестве примеров эталонов укажем на метр — эталон меры длины; уровень жизни — стандарт, принятый в данной стране для оценки условий жизни; установленные обычаем или общим согласием нормы взаимоотношений между людьми, служащие для характеристики стиля поведения в данном обществе; уголовное законодательство, представляющее собой канонический свод моделей — эталонов противоправного поведения (и соответствующих эталонных мер наказания).

Приведенные примеры иллюстрируют только одну компоненту эксплицируемого понятия, а именно физическую содержательность понятия «эталон» в различных контекстах. Ниже мы остановимся на физическом содержании этого понятия в задачах получения и обработки индивидуальных предпочтений. Здесь же отметим, что для семантической точности понятия необходимо также определить его формальную компоненту, дающую возможность оперировать точной формальной структурой при разработке аналитического аппарата.

Основное назначение эталона состоит в том, что содержащаяся в нем информация определенного типа служит для оценки аналогичной информации в других объектах. Эти оценки могут быть представлены в виде бинарных отношений индивидуального предпочтения. Так, в [32] рассматривается четкое отношение «быть эталоном» и описывается его формальная структура. Пусть М — некоторое множество объектов и А — отношение эквивалентности на М. Это отношение определяет разбиение множества М на систему непустых подмножеств — классов разбиения — таких, что

Наличие разбиения означает, что в каждом его классе собраны такие элементы из М, которые сходны, одинаковы или эквивалентны в смысле, определяемом отношением А. «Теперь в каждом множестве выберем некоторый содержащийся в нем элемент и будем называть его эталоном для всякого элемента у, входящего в то же множество Мы будем — по определению — полагать выполненным соотношение стр. 53]. Так определенное отношение в [32] называется отношением «быть эталоном»; обозначим его через 0.

На основе этого конструктивного определения является эталоном для у» структура 0 характеризуется следующими свойствами:

1) для всякого у существует эталон

3) из следует

Исходя из этих трех свойств, можно показать, что из них следует определение эталона с помощью разбиения. Другими словами, существует сюрьективное отображение где X — множество объектов, а элементы множества образов служат эталонами для элементов из Элемент является эталоном для объектов если Множество всех элементов имеющих данный образ составляет класс разбиения множества X по отношению «иметь общий образ», «иметь общий эталон».

Результаты традиционного («метрического») использования эталонов в качестве меры всегда можно выразить в виде заключения, что этой меры в исследуемых объектах содержится больше, меньше, столько же или она вовсе отсутствует. Четкое отношение «быть эталоном» — в силу своей бинарной природы — может фиксировать наличие или отсутствие только одного из этих факторов. В этой связи естественно обратиться к нечетким бинарным отношениям, позволяющим при соответствующем использовании эталонов выражать все четыре перечисленные выше соотношения.