§ 2.3. Свойства бинарных отношений

В этом параграфе мы приведем краткие определения важнейших свойств отношений, которые понадобятся нам в дальнейшем.

1. Рефлексивность отношения означает, что т. е. рефлексивное отношение выполняется между элементом и им самим В матрице рефлексивного отношения на главной диагонали всегда стоят единицы.

2. Антирефлексивность отношения означает, что т. е. отношение выполняется только для несовпадающих элементов. В матрице антирефлексивного отношения на главной диагонали стоят нули.

3. Симметричность отношения означает, что если то т. е. если для пары выполнено отношение то для пары также выполнено отношение В матрице симметрического отношения элементы расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой.

4. Антисимметричность отношения означает, что если то Для элементов матрицы антисимметричного отношения выполняется следующее условие:

5. Транзитивность отношения означает, что из следует Если в матрице транзитивного отношения элементы то обязательно Квадрат транзитивного отношения , вообще говоря, содержится в самом отношении В случае, если отношение рефлексивно, то

С понятием транзитивного отношения связано понятие операции транзитивного замыкания. Именно, для каждого отношения определим отношение как наименьшее транзитивное отношение, содержащее данное. Можно показать, что такое отношение определяется единственным образом и где мощность множества области задания отношения

Пример 2.9. Проиллюстрируем это свойство. Пусть отношение определяется матрицей

Тогда имеем

и транзитивное замыкание отношения есть матрица

6. Линейность (связность) отношения означает, что для любых или или В матрице линейного отношения или или 1 для любых

Поскольку бинарные отношения, с которыми нам придется встречаться в этой книге, как правило, возникают в результате формализации условий выбора, то бинарные отношения будем называть предпочтениями. Это могут быть, например, субъективные предпочтения экспертов, лица, принимающего решение, или предпочтения, основанные на функции полезности. Простым примером такого отношения предпочтения является упорядочение некоторого фиксированного множества объектов по степени выраженности признака, определенного на этих объектах, например по их стоимости.