Глава III. ПРОСТРАНСТВА ЧЕТКИХ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Во многих теоретических исследованиях и практических приложениях приходится рассматривать не произвольные бинарные отношения предпочтения на данном множестве объектов, а отношения предпочтения, на которые наложены некоторые дополнительные условия. Другими словами, обычно рассматривают специальные типы отношений предпочтений, обладающие некоторыми из перечисленных в главе II свойств. Особенности решаемой практической задачи предопределяют тип рассматриваемых отношений. Например, в задачах группового выбора обычно используют отношение линейного квазипорядка, соответствующее числовому отношению меньше). Реже используются отношения частичного порядка, совершенного строгого порядка, толерантности и т. п.

Множество всех бинарных отношений предпочтения данного типа с геометрической точки зрения, изложенной в главе I, образует пространство — пространство бинарных отношений предпочтения данного типа.

В этой главе мы рассмотрим абстрактную модель пространства отношения и двенадцать конкретных реализаций этой модели. Основное внимание будет сосредоточено на анализе взаимосвязей, существующих между пространствами отношений различных классов.

§ 3.1. Три класса отношений

Пусть А — конечное множество объектов. Бинарное отношение называется отношением слабого предпочтения на множестве А, если для любых х, выполняется либо либо

Из нашего определения немедленно следует, что отношение слабого предпочтения рефлексивно, т. е. для любых Для остальных пар могут иметь место два случая: либо мы имеем и не выполнено либо одновременно выполняется . В первом случае мы говорим, что х строго предпочитается у и пишем Тем самым отношение строгого предпочтения Р определяется следующим образом: объекты

находятся в отношении тогда и только тогда, когда выполнено и не выполнено Отношение Р, очевидно, антирефлексивно и антисимметрично.

Во втором случае мы говорим, что выбор между х и у для нас безразличен и будем обозначать это Отношение безразличия I тем самым определено следующим образом: тогда и только тогда, когда Очевидно, что отношение рефлексивно и симметрично.

В качестве примера рассмотрим отношение с матрицей

Этому отношению соответствует строгое отношение предпочтения Р с матрицей

и отношение безразличия I с матрицей

Используя определение бинарного отношения как подмножества прямого произведения, взаимосвязь введенных отношений можно сформулировать в виде следующего утверждения:

Утверждение образуют разбиение прямого произведения При этом

Справедливость этого утверждения легко проверить для предыдущего примера.