§ 10.2. Метрика в пространстве FPO

Мы начнем этот параграф с введения меры близости между нечеткими частичными порядками. Под мерой близости мы будем понимать функцию на парах элементов из удовлетворяющую некоторым естественным условиям. Например, естественно потребовать, чтобы «близким» нечетким частичным порядкам соответствовали «небольшие» значения этой меры и т. п.

Определение 10.1. Мерой близости между нечеткими частичными порядками будем называть функцию заданную на

множестве всех пар элементов множества удовлетворяющую следующим условиям:

2) тогда и только тогда, когда лежит между ;

3) для соседних нечетких частичных порядков

Теорема 10.2. Существует единственная функция удовлетворяющая условиям 1—3. Значения функции могут быть вычислены по формуле

Доказательство. Покажем сначала, что функция определяется условиями 1—3 однозначно. Пусть нечеткие частичные порядки. В силу леммы есть нечеткий частичный порядок, причем Отсюда по условию Так как то достаточно показать, что однозначно определено для Поскольку в этом случае очевидно, что то по условиям 2 и 1. (Здесь 0 обозначает тривиальный частичный порядок с функцией принадлежности тождественно равной нулю.) Покажем, что однозначно определено для любого Р. Если то из следует , откуда Если то согласно лемме 10.2 существует нечеткий частичный порядок такой, что есть нечеткий частичный порядок, соседний к Р. При этом носитель строго содержится в Р. Далее, согласно лемме 10.2 существует нечеткий частичный порядок и соседний к и т. д. Применяя последовательно лемму 10.2, мы получим последовательность вложенных соседних нечетких частичных порядков, причем носители их строго убывают. В силу конечности А эта последовательность обрывается: Применяя последовательно условие 2, получаем

Так как нечеткие частичные порядки соседние, то все слагаемые в этой сумме однозначно определены условием теоремы, а следовательно, установлена однозначность функции

Для доказательства оставшейся части теоремы достаточно проверить, что функция (10.1) удовлетворяет всем условиям

1—3. Выполнение условий 1 и 3 очевидно. Пусть теперь В соответствии с условием 2 рассмотрим выражение

Поскольку по определению условия имеем

то рассматриваемое выражение принимает вид

Следовательно, условие 2 тоже выполняется. Доказательство закончена.

Из доказанной теоремы 10.2 видно, что мера близости, определенная естественными условиями 1—3, существует и при этом определяется ими единственным образом. Оказывается, что так определенная мера близости к тому же обладает следующим важным свойством: ее можно рассматривать как метрику на пространстве

Теорема 10.3. Функция удовлетворяет следующим условиям:

4) тогда и только тогда, когда P = Q.

5) для любых

Доказательство. Оба условия немедленно следуют из формулы (10.1).

Таким образом, установлено, что функция определенная формулой (10.1), удовлетворяет условиям 1—5, причем уже условиями 1—3 определяется однозначно. Условия 1, 2, 4, 5 в совокупности эквивалентны обычным трем аксиомам геометрического расстояния. Подобная геометрическая трактовка функции близости как функции расстояния позволяет при решении проблемы группового выбора использовать известные аналоги из геометрии и механики, например понятие центра тяжести и проч.