§ 5.3. Геометрические структуры в пространстве QF

Напомним, что точками пространства служат все квазитранзитивные отношения слабого предпочтения на фиксированном конечном множестве А. Условие квазитранзитивности отношения состоит в том, что соответствующее ему отношение строгого предпочтения должно быть транзитивным отношением, т. е. частичным порядком. Тем самым отображение заданное условием является биективным отображением пространства на пространство 90.

Отметим важные свойства отображения Во-первых, оно обращает символ включения для отношений. Точнее, из следует Во-вторых, при отображении пересечение отображений переходит в объединение образов и наоборот. Таким образом,

Так как основные геометрические структуры в пространствах бинарных отношений вводились в терминах символов то, используя терминологию теории структур, можно сказать, что осуществляет дуальный изоморфизм пространств Используя этот дуальный изоморфизм, можно перенести все результаты, полученные для пространства на пространство (разумеется, в двойственной формулировке).

Мы проиллюстрируем это положение, доказав полноту пространства

Лемма 5.3. Объединение двух квазитранзитивных предпочтений есть снова квазитранзитивное предпочтение.

Доказательство. Пусть где квазитранзитивные предпочтения. Имеем

Так как есть частичный порядок, то есть квазитранзитивное предпочтение.

Лемма 5.4. Если два соседних квазитранзитивных предпочтения, то их симметрическая разность есть одноэлементное множество.

Доказательство. Рассмотрим отношения в пространстве . Если в этом пространстве существует отношение Р, отличное от и такое, что то отношение в силу биективности отлично от что противоречит тому, что точки соседние. Отсюда следует, что соседние точки в

По определению симметрической разности имеем

Но есть одноэлементное множество в силу леммы 5.1, откуда и следует доказываемое утверждение.

Из доказанной леммы непосредственно следует, что справедлива

Теорема 5.2. Пространство есть полное пространство.

Точно таким же образом в пространство можно перенести понятия базиса, ядра, ядерной точки, рассмотренные в пространстве . Все эти понятия переносятся из в в двойственной формулировке, т. е. с заменой минимальных элементов на максимальные и наоборот.

Вся теория выпуклых множеств в пространстве могла бы быть построена на основе непосредственного изучения структур этого пространства так, как это было сделано для пространства . Мы предпочли использованный здесь подход, так как он естественным образом вытекает из идей, развитых в главе III, где была построена диаграмма пространств бинарных отношений.