Глава II. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ (ЧЕТКИЙ СЛУЧАЙ)

В предыдущей главе при рассмотрении некоторых понятий теории измерений мы ввели понятие «тип шкалы», в которой измеряются предпочтения. Со шкалой каждого типа связан определенный способ оценивания. Так, при измерении в шкале порядка объекты расставляются последовательно в соответствии с убыванием степени их предпочтительности или значений представляющих функций на объектах. С измерениями в интервальной шкале мы сталкиваемся в повседневной жизни, когда, например, измеряем длины, температуру, время. Способ измерений в шкале отношений хорошо иллюстрирует процедура взвешивания на обычных весах.

С каждым способом измерения шкале данного типа связана определенная форма представления результатов измерений. Так, результаты измерений в шкале порядка на данном множестве объектов могут быть представлены, например, в виде значений представляющих функций на этих объектах или в виде последовательности номеров мест, упорядоченных так же, как и значения представляющих функций, или же могут быть заданы в виде неравенств. Выбор той или иной формы для представления результатов измерений предпочтений в шкале данного типа в конечном итоге определяется тем математическим аппаратом, который предполагается использовать для анализа и обработки измерений, или принципом их агрегации.

В последующих главах этой работы мы будем систематически использовать аппарат обычной теории множеств и теоретико-множественное представление измерений предпочтений. Язык бинарных отношений и булевых матриц позволяет рассматривать более широкий спектр качественных данных об объектах, чем терминология теории измерений. При этом определенному типу качественной информации соответствует определенный класс отношений. Не останавливаясь на обосновании такого выбора, в этой главе мы введем понятие бинарного отношения, дадим краткий перечень действий (операций) над отношениями и основных свойств отношений.

§ 2.1. Понятие бинарного отношения

Пусть А — некоторое конечное множество Рассмотрим множество всех пар элементов где . При условии, что х не совпадает с у, мы будем различать пары т. е. считать элементы в парах упорядоченными. Множество всех упорядоченных пар где , обозначается Любое подмножество Р множества называется бинарным отношением на множестве А. Множество А иногда называют областью задания отношения Р. Тот факт, что пара элементов х, у А состоит в отношении Р, будет записываться или Бинарное отношение может задаваться или непосредственным указанием пар элементов, состоящих в данном отношении, или правилом, которое позволяет для каждой пары установить, находится или нет данная пара в данном отношении.

Пусть на -элементном множестве А определено бинарное отношение Р. Перенумеруем элементы множества А числами от 1 до и каждому элементу поставим в соответствие столбец и строку квадратной таблицы размером Тот факт, что для пары элементов с номерами выполняется отношение будем отмечать единицей на пересечении строки и столбца и нулем — если т. е. если отношение Р для элементов не выполняется. Обозначая элементы построенной таким образом матрицы через правило задания отношения можно сформулировать так:

Такой способ представления бинарного отношения называется матричным. Полученная матрица называется матрицей бинарного отношения Р. Мы будем обозначать ее или просто