Глава VI. ОБЩИЙ АНАЛИЗ ВЫПУКЛЫХ И МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР

В предыдущих главах для решения проблемы группового выбора была развита общая теория выпуклых множеств в пространствах бинарных отношений и рассмотрены ее реализации в трех конкретных пространствах отношений индивидуального предпочтения. Настало время ответить на два вполне уместных здесь вопроса: как реализуются результаты, полученные в рамках этой теории, в остальных пространствах системы пространств, представленной на диаграмме 3.5, и как соотносятся групповые решения, получаемые на основе предложенного подхода, и подхода, при котором для построения групповых решений используется метрическая структура?

Отвечая на эти вопросы, удобно взглянуть на построенную в главе III систему пространств как бы сверху. Мы начнем наш «обзор» с общего рассмотрения метрической структуры в полных пространствах и указания на ранее изученные в этом отношении пространства (§ 6.1). В следующем параграфе будут рассмотрены выпуклые и метрические структуры в рассматривавшихся ранее неполных пространствах. В конце этого параграфа ответ на первый вопрос будет представлен в таблице, подводящей итог изучению свойств полноты и выпуклости в пространствах диаграммы 3.5.

В последнем параграфе этой главы будет проведено сравнение указанных двух подходов к решению проблемы группового выбора на конкретных примерах в двух пространствах диаграммы 3.5.

§ 6.1. Близость и метрика в полных пространствах бинарных отношений

Интуитивно понятие близости существует в любом пространстве с метрикой — мы говорим, что точка «ближе» к точке Р, чем точка если где функция расстояния в заданном пространстве. Оказывается, что в любом

пространстве бинарных отношений аксиоматическое описание понятия «функция близости», более широкое, чем понятие метрики, в конечном итоге приводит к однозначной метрической структуре. Этим мы, безусловно, обязаны специфике рассматриваемых задач.

В этом параграфе мы рассмотрим функции близости и расстояния для случая полных пространств бинарных отношений, где связь между этими понятиями становится наиболее прозрачной.

Начнем со следующего общего определения.

Определение 6.1. Пусть произвольное пространство бинарных отношений. Функцией близости на пространстве называется каждая функция на удовлетворяющая условиям:

А1. Аддитивность:

А2. Нормировка: для любых двух соседних точек

Замечание. В то время как условие носит «универсальный» характер и используется при определении функции близости во всех пространствах, условие может видоизменяться в зависимости от конкретного вида пространства. В том виде, как это условие представлено в определении 6.1, оно пригодно для всех полных пространств и, например, для пространств (см. диаграмму 3.5).

Нашей ближайшей задачей будет установление существования и единственности функции близости, определенной условиями для полных пространств бинарных отношений. Сначала установим, что в любом пространстве бинарных отношений справедлива

Лемма 6.1. Если функция близости существует, то она определяется условиями однозначно для любого пространства бинарных отношений

Доказательство. Пусть и Согласно теореме 4.1 существует линейный сегмент между

Из условия непосредственно выводим, что

Согласно условию отсюда следует так как — соседние точки в пространстве для всех Если же то из немедленно получаем, что

Следствие 6.1. Если функция существует, то она удовлетворяет также условиям

А3. Симметрия: .

А4. Неотрицательность:

Наше предположение о существовании функции близости, конечно, было существенным при доказательстве вышеуказанных свойств. Рассмотрим фрагмент пространства для трех объектов

Очевидно, что последовательность является линейным сегментом. Но также есть линейный сегмент. Так как то мы делаем вывод, что в пространстве не существует функции удовлетворяющей условиям Здесь дело в том, что, как мы уже указывали выше, формулировка условия выбирается в зависимости от конкретного пространства бинарных отношений.

Теперь установим существование функции близости, удовлетворяющей условиям в полных пространствах бинарных отношений. С этой целью напомним сначала читателю определение расстояния Хемминга между булевыми матрицами. Пусть и две булевы матрицы размера Расстояние Хемминга между ними определяется формулой

Расстояние Хемминга удовлетворяет всем обычным свойствам геометрического расстояния.

Так как каждое бинарное отношение определяет булеву матрицу (см. § 2.1), то можно считать, что на любом пространстве

бинарных отношений существует метрика определяемая формулой

где булевы матрицы отношений

Лемма 6.2. В полном пространстве бинарных отношений функция удовлетворяет условиям Доказательство. Пусть т. е.

Переходя к булевым матрицам отношений, перепишем 6.3 в виде

где матрицы отношений соответственно. Имеем в силу (6.1), (6.2)

Тем самым установлено, что выполняется.

Пусть теперь соседние точки. Так как пространство полно, отсюда следует, что симметрическая разность есть одноэлементное множество. В терминах матриц бинарных отношений это означает, что различаются ровно одним элементом, т. е. для всех кроме одной пары, Из (6.1) и (6.2) получаем

что и требовалось доказать.

Из доказанного выше следует, что справедлива следующая Теорема 6.1. На любом полном пространстве существует единственная функция близости удовлетворяющая условиям Эта функция совпадает с расстоянием Хемминга между матрицами бинарных отношений из пространства

где матрицы отношений