Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава XI. ГРУППОВЫЕ РЕШЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕЧЕТКИХ ЧАСТИЧНЫХ ПОРЯДКОВВ предыдущей главе на основе геометрического подхода было построено множество допустимых решений в проблеме группового выбора. В практических приложениях задача группового выбора обычно требует построения единственного группового решения. Особенность исходных данных в нашей задаче — нечеткость бинарных отношений частичного порядка — предоставляет возможность для построения такого единственного решения. Эти возможности связаны с арифметической обработкой исходных данных. В отличие от четкого случая арифметические операции над нечеткими отношениями снова приводят к нечетким отношениям. Примером такого рода арифметических операций могут служить операции осреднения, широко используемые при обработке данных. Трудности, которые возникают при этом подходе, связаны с тем, что нечеткие отношения, получающиеся после такой обработки, могут отличаться по своим свойствам от отношений, которые представляли собой исходные данные. Например, полученное отношение может оказаться нетранзитивным, тогда как исходные данные были транзитивными. При построении допустимых групповых решений такой проблемы не возникало, поскольку задача решалась на основе геометрического подхода. В этой главе будет предложен способ построения единственного группового решения на основе операции осреднения. Так как нечеткий частичный порядок определяется двумя условиями — антирефлексивности и транзитивности — то возникающая здесь проблема состоит в том, чтобы построенное среднее отношение также обладало этими свойствами. Для решения этой проблемы предлагается следующий подход. Сначала строится такая модель пространства § 11.1. Модель пространства FPOОпределение 11.1. Пространством Из определения (11.1) немедленно следует, что По аналогии с предыдущими исследованиями определим необходимые структуры в 1. Частичный порядок 2. Элемент лежит между элементами 3. Расстояние
Установим, что в Лемма 11.1. Отношение определенное в Доказательство. Рефлексивность отношения Докажем теперь транзитивность отношения Доказательство окончено. Докажем теперь, что частичный порядок Лемма 11.2. Доказательство. Пусть
и
откуда
Если
откуда, пользуясь антисимметричностью функций
Итак, мы доказали, что Пусть Если Установим возможность изоморфного вложения пространства Теорема 11.1. Отображение
где Доказательство. Нам предстоит доказать следующие четыре утверждения: 1. Отображение Ф взаимнооднозначное. 2. 3. 4. Рассмотрим эти утверждения по порядку. 1. Взаимнооднозначность отображения Ф. Пусть 2. Сохранение порядка. Пусть имеем
так как Итак, из Пусть теперь, наоборот, Итак, из 3. Сохранение отношения «между». Пусть
так как Итак, Итак, из Пусть теперь Случай Итак, из 4. Сохранение расстояний. Пусть
Суммируя по всем парам Доказательство теоремы 11.1 закончено. Из наших построений видно, что образ пространства при вложении Ф является на самом деле собственным подмножеством куба Е пространства Пр и мер 11.1. Пусть А — множество, состоящее из двух элементов. Тогда пространство состоит из антисимметричных
Тем самым оно изоморфно действительной прямой. Каждый нечеткий частичный порядок
Рис. 11.1. Пусть Фактически, отображение Ф, заданное формулой (11.1), определяет для любого нечеткого отношения его образ в пространстве При таком расширении отображения Ф оно перестает быть, вообще говоря, взаимнооднозначным. В дальнейшем для нас будет особенно удобно то обстоятельство, что среди прообразов точки
Действительно, пусть отношение Р имеет функцию принадлежности, удовлетворяющую условиям антисимметричности и соотношению 11.1. Рассмотрим следующие случаи: 1) 2) 3)
Отсюда следует, что
|
1 |
Оглавление
|