Глава XI. ГРУППОВЫЕ РЕШЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕЧЕТКИХ ЧАСТИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

В предыдущей главе на основе геометрического подхода было построено множество допустимых решений в проблеме группового выбора. В практических приложениях задача группового выбора обычно требует построения единственного группового решения. Особенность исходных данных в нашей задаче — нечеткость бинарных отношений частичного порядка — предоставляет возможность для построения такого единственного решения. Эти возможности связаны с арифметической обработкой исходных данных. В отличие от четкого случая арифметические операции над нечеткими отношениями снова приводят к нечетким отношениям. Примером такого рода арифметических операций могут служить операции осреднения, широко используемые при обработке данных. Трудности, которые возникают при этом подходе, связаны с тем, что нечеткие отношения, получающиеся после такой обработки, могут отличаться по своим свойствам от отношений, которые представляли собой исходные данные. Например, полученное отношение может оказаться нетранзитивным, тогда как исходные данные были транзитивными. При построении допустимых групповых решений такой проблемы не возникало, поскольку задача решалась на основе геометрического подхода.

В этой главе будет предложен способ построения единственного группового решения на основе операции осреднения. Так как нечеткий частичный порядок определяется двумя условиями — антирефлексивности и транзитивности — то возникающая здесь проблема состоит в том, чтобы построенное среднее отношение также обладало этими свойствами. Для решения этой проблемы предлагается следующий подход. Сначала строится такая модель пространства изоморфная в рамках геометрического подхода самому пространству что операция осреднения, примененная к произвольной совокупности исходных данных не нарушает свойства антисимметричности. Тем самым проблема сводится к построению транзитивного группового решения. В заключительном параграфе этой главы описывается алгоритм для построения такого решения.

§ 11.1. Модель пространства FPO

Определение 11.1. Пространством будем называть множество всех действительных функций на удовлетворяющих условию антисимметричности

Из определения (11.1) немедленно следует, что для всех . Функцию, тождественно равную нулю, будем обозначать

По аналогии с предыдущими исследованиями определим необходимые структуры в

1. Частичный порядок на определяется условием: тогда и только тогда, когда .

2. Элемент лежит между элементами (обозначается ) тогда и только тогда, когда

3. Расстояние определяется формулой

Установим, что в нами действительно определено отношение частичного порядка.

Лемма 11.1. Отношение определенное в является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным отношением.

Доказательство. Рефлексивность отношения очевидна; проверим выполнение свойства антисимметричности. Пусть Тогда откуда Складывая последние два неравенства, получаем, что откуда

Докажем теперь транзитивность отношения Пусть Тогда имеем Перемножая эти неравенства, получаем: или , откуда для тех пар для которых Если же то из следует, что откуда Окончательно получаем, что неравенство выполнено для всех пар откуда

Доказательство окончено.

Докажем теперь, что частичный порядок и структура «между» на согласованы между собой.

Лемма 11.2. тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть т. е. Пусть также для некоторой пары Тогда из неравенства имеем Так как

и

откуда

Если

откуда, пользуясь антисимметричностью функций

Итак, мы доказали, что

Пусть Тогда Бели то это означает, что т. е. выполняется неравенство .

Если то . Таким образом, в любом случае т. е. и доказательство закончено.

Установим возможность изоморфного вложения пространства в пространство Докажем, что существует взаимнооднозначное отображение сохраняющее основные структуры.

Теорема 11.1. Отображение пространства в пространство определенное формулой

где функция принадлежности нечеткого частичного порядка Р, является взаимнооднозначным вложением, сохраняющим структуры порядка, и расстояние между парами точек.

Доказательство. Нам предстоит доказать следующие четыре утверждения:

1. Отображение Ф взаимнооднозначное.

2. тогда и только тогда, когда .

3. тогда и только тогда, когда ,

4. где первое расстояние вычислено в пространстве а второе — в

Рассмотрим эти утверждения по порядку.

1. Взаимнооднозначность отображения Ф. Пусть Для некоторых Если то Но тогда и откуда Если то т. е. Итак, из следует

2. Сохранение порядка. Пусть имеем т. е. Предположим сначала, что для некоторой пары Тогда Имеем

так как Если то силу предыдущего откуда, пользуясь антисимметричностью имеем .

Итак, из следует

Пусть теперь, наоборот, Тогда Пусть такая пара, что Тогда откуда Если же то

Итак, из следует

3. Сохранение отношения «между». Пусть т. е. Но Если такая пара, что то откуда Отсюда очевидно, что Если то пусть, например, Имеем

так как

Итак, для всех пар В частности, , откуда — или

Итак, из следует, что

Пусть теперь т. е. Пусть также такая пара, что Тогда Далее, очевидно, что Функция является неубывающей функцией аргумента Поэтому откуда

Случай рассматривается аналогично и приводит к той же системе неравенств.

Итак, из следует

4. Сохранение расстояний. Пусть соответствующие точки в Согласно формуле (10.1) имеем Следующее равенство легко проверяется перебором возможных случаев:

Суммируя по всем парам получаем откуда

Доказательство теоремы 11.1 закончено.

Из наших построений видно, что образ пространства при вложении Ф является на самом деле собственным

подмножеством куба Е пространства определяемого условием Образ пространства при вложении Ф будем обозначать и называть моделью пространства Проиллюстрируем это следующим примером.

Пр и мер 11.1. Пусть А — множество, состоящее из двух элементов. Тогда пространство состоит из антисимметричных

Тем самым оно изоморфно действительной прямой. Каждый нечеткий частичный порядок при отображении Ф переходит в точку отрезка (рис. 11.1).

Рис. 11.1.

Пусть частичные порядки из примера 10.1 (см. рис. 11.1). На рис. 11.1 этим частичным порядкам соответствуют точки с

Фактически, отображение Ф, заданное формулой (11.1), определяет для любого нечеткого отношения его образ в пространстве При таком расширении отображения Ф оно перестает быть, вообще говоря, взаимнооднозначным. В дальнейшем для нас будет особенно удобно то обстоятельство, что среди прообразов точки всегда существует единственное антирефлексивное и антисимметричное отношение, определяемое функцией принадлежности

Действительно, пусть отношение Р имеет функцию принадлежности, удовлетворяющую условиям антисимметричности и соотношению 11.1. Рассмотрим следующие случаи:

1) . Тогда и в силу условия антисимметричности .

2) . Тогда и в силу условий антисимметричности

3) . Тогда и в силу условий антисимметричности и антирефлексивности Итак,

Отсюда следует, что