§ 6.2. Пространства FO и FPO

В этом параграфе мы довольно подробно рассмотрим структуру пространства и изоморфного ему пространства пространств, которые нам в этой работе еще не встречались. Эти пространства (вместе с тривиальпым пространством образуют

«первый этаж» диаграммы 3.5. Сначала мы рассмотрим выпуклые структуры, а завершим параграф изучением структур близости и метрики в пространстве

Напомним определение пространства

Определение 6.2. Пространство бинарных отношений называется пространством совершенных строгих порядков если каждая его точка есть бинарное отношение совершенного строгого порядка, т. е. удовлетворяет условиям

1. Антирефлексивность:

2. Транзитивность:

3. Связность: для любых х и у либо либо

Отношения совершенного строгого порядка, или, как еще говорят, отношения строгого линейного порядка на конечном множестве А из элементов, обладают довольно простой структурой. Так как, очевидно, каждое отношение строгого линейного порядка на А есть в то же самое время отношение строгого частичного порядка, то в силу теоремы Шпильрайна на А существует нумерация согласованная с Учитывая свойство связности строгого линейного порядка, получаем следующее утверждение.

Лемма 6.3. Для любого линейного порядка на конечном множестве А существует нумерация такая, что

Очевидно, что предыдущая лемма устанавливает взаимнооднозначное соответствие между точками пространства и различными нумерациями множества А. Фиксируя какую-либо нумерацию мы видим, что любая другая нумерация получается в результате некоторой перестановки элементов множества А. Поэтому число различных точек пространства равно

Изучим подробнее структуру соседних точек в пространстве Напомним, что точка лежит между точками и тогда и только тогда, когда

Для любых двух элементов х и у множества А пусть их номера в нумерациях, согласованных соответственно с Из (6.5) немедленно получаем

причем условия (6.6) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы

Лемма 6.4. Согласованные нумерации соседних точек в отличаются перестановкой двух последовательных элементов.

Доказательство. Пусть две соседние точки и нумерация, согласованная с нумерация тех же элементов в нумерации, согласованной с Так как то найдется такой, что Рассмотрим точку для которой номера элементов есть Для легко проверяется выполнение условий (6.6) и, следовательно, Так как соседние точки и то откуда и следует утверждение леммы.

Теперь мы обратимся к выпуклым структурам пространства Для этого пространства, конечно, справедливы все общие определения и результаты Однако пространство очевидным образом не является полным пространством — матрицы двух соседних отношений, как это следует из леммы

6.4, различаются ровно на двух элементах. Несмотря на это здесь удается установить эквивалентность двух определений выпуклости (см. § 4.2).

Лемма 6.5. В любом пространстве из выпуклости в смысле определения 4.4 следует выпуклость в смысле определения 4.5.

Доказательство. Пусть множество, выпуклое в смысле определения 4.4, и пусть Рассмотрим линейный сегмент между Предположим, что Так как то в линейном сегменте между и найдутся две соседние точки такие, что Пусть нумерация элементов, согласованная с Тогда в силу леммы 6.4 номера тех же элементов в нумерации, согласованной с , будут для некоторого Пусть номера тех же элементов в нумерации, согласованной с Так как то в силу второго условия из (6.6) имеем Пусть теперь номера тех же элементов в нумерации, согласованной с Так как то Отсюда в силу найдется номер для которого Покажем, что Условие 1 из (6.6), очевидно, выполнено, так отличается от V перестановкой объектов с номерами Из тех же соображений следует выполнение условия 2 из (6.6). Но , что противоречит выпуклости Полученное противоречие показывает, что т. е. множество X выпукло в смысле определения 4.5. Лемма доказана.

Объединяя результат леммы 6.5 с результатом леммы 4.4, получаем теорему.

Теорема 6.2. В пространстве (и изоморфном ему пространстве оба определения выпуклости эквивалентны.

На этом мы закончим рассмотрение выпуклых структур в пространствах и перейдем к изучению структуры близости и метрики в этих пространствах.

Несмотря на то, что пространства не являются полными, для них возможно определение функции близости. Так как в § 6.1 было показано, что из существования функции близости, удовлетворяющей условиям следует ее единственность в любом пространстве бинарных отношений, то достаточно показать, что в пространстве существует функция удовлетворяющая

Определим формулой

Условие проверяется так же, как и в произвольном пространстве (см. § 6.1). Пусть теперь соседние точки в пространстве Из леммы 6.4 следует, что матрицы отношений различаются ровно на двух элементах. Поэтому откуда следует Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 6.3. В пространстве существует единственная функция близости, удовлетворяющая условиям Эта функция близости задается формулой (6.7).

Так как является метрикой, то справедлива

Теорема 6.4. Функция близости, определенная в теореме 6.3, задает метрическую структуру пространства

Полученные выше в этом параграфе результаты вполне аналогичны результатам для полных пространств. Возвращаясь к диаграмме 3.5, можно сказать, что для пространств предпочтений «этажей» этой диаграммы два общих определения выпуклости оказываются эквивалентными, что позволяет развивать для них геометрический подход к проблеме группового выбора, предложенный в данной работе. Далее, для этих же пространств оказался возможным общий подход к попятию функции близости (условия и построение на его основе метрики в этих пространствах. Эта метрика для единственного из этих пространств, изучавшегося ранее, — пространства 00, совпадает с введенной в работе [15] и позволяет развивать в этих пространствах метрический подход.

Обратимся теперь к пространствам «этажа» диаграммы

3.5. Это пространство (и изоморфное ему пространство и пространство безразличия Эти пространства рассматривались в работах [1] (пространство и [13, 26] (пространство где оно названо пространством разбиений). В этих работах был намечен метрический подход к проблеме группового выбора в данных пространствах. Относительно сложная структура самих

отношений в этих пространствах я, особенно, соседних отношений, не позволяет реализовать для них наш подход, основанный на функциях близости. Введение метрики в этих пространствах возможно только лишь на основе довольно громоздкой системы аксиом, хотя в конечном итоге эти метрики совпадают с расстоянием Хемминга, что имеет место и при нашем подходе.