§ 8.2. Нечеткие соответствия. Понятие нечеткого бинарного отношения

Опишем сначала общую конструкцию нечетких соответствий и их композиций.

Определение 8.1. Пусть множества. Нечетким соответствием Ф называется нечеткое множество с областью определения

Функция принадлежности нечеткого соответствия Ф есть функция двух аргументов

Определение 8.2. Пусть два нечетких соответствия с областями соответственно. Композицией Ф и

называется нечеткое соответствие с функцией принадлежности

и областью определения

В силу ассоциативности операции операция композиции также является ассоциативной, т. е.

Далее, из следует

Наконец, имеем

Заметим, что для пересечений, вообще говоря, имеет место лишь включение

Пусть Ф — нечеткое соответствие с областью определения Обратным нечетким соответствием называется нечеткое соответствие с функцией принадлежности и областью определения

Легко проверить, что выполняются следующие свойства обратного нечеткого соответствия:

Если А — нечеткое множество с областью то образом этого нечеткого множества относительно нечеткого соответствия Ф называется нечеткое множество с областью определения и функцией принадлежности

Пусть теперь В — нечеткое множество с областью Прообразом нечеткого множества В относительно нечеткого соответствия Ф называется нечеткое множество с областью определения и функцией принадлежности

Ясно, что прообраз нечеткого множества есть его образ при обратном соответствии.

Если элементы множеств занумерованы, то нечеткие множества и соответствия естественным образом представляются матрицами с элементами из В этом случае операция композиции представляет собой обычную композицию матриц по правилу «строка на столбец».

Две специализации понятия нечеткого соответствия — бинарные нечеткие отношения и нечеткие отображения — представляют собой предмет изучения в этой главе. Ниже мы изложим основные определения и некоторые свойства из области этих понятий. Начнем с бинарных отношений.

Пусть А — конечное множество из элементов. Элементы этого множества будем обозначать

Определение 8.3. Бинарным нечетким отношением на множестве А называется нечеткое соответствие с областью определения

Другими словами, нечетким отношением называется нечеткое множество с носителем Тем самым нечеткое отношение задается функцией принадлежности принимающей значение в интервале [0, 1]. В дальнейшем мы рассматриваем только нормальные отношения, т. е. такие отношения, функция принадлежности которых хотя бы на одной паре принимает значение 1.

Нечеткое отношение, кроме описанного способа, может задаваться в виде матрицы. Пусть элементы множества А занумерованы в виде последовательности Элементы матрицы задающей нечеткое отношение определяются равенством

В теоретических рассмотрениях мы будем использовать первый способ представления нечеткого отношения — через функцию принадлежности ; для решения практических задач удобнее использовать матричную форму. В дальнейшем матрицу отношений будем обозначать просто