§ 4.3. Выпуклые оболочки и проблема группового выбора

В предыдущем параграфе мы ввели в рассмотрение класс пространств бинарных отношений — полные пространства. Для полных пространств оказалось, что два различных варианта определения выпуклости дали один и тот же результат, точнее, соответствующие этим определениям выпуклые множества отношений совпадают. Этот факт в свете проблем группового выбора представляет для нас определенный интерес. Если первое определение выпуклой оболочки, базирующееся на первом определении понятия «между» и первом определении выпуклости, имеет ярко выраженную геометрическую основу и является полным аналогом соответствующего понятия в евклидовой геометрии, то

второе определение связано с важным понятием в теории группового выбора. Именно, оно представляет собой не что иное, как формализацию хорошо известного условия Парето на принцип согласования отношений индивидуального предпочтения: «если все индивидуумы предпочитают объект а объекту то и в групповом отношении объект а должен быть предпочтительнее Точно так же, если все члены группы безразличны в выборе между а и таково же должно быть групповое решение» [14, стр. 141].

Построенное групповое множество как раз и состоит из отношений, удовлетворяющих этому условию, и поэтому выбор единственного группового решения естественно производить из отношений, составляющих это множество. Однако не все точки выпуклой оболочки «равноправны» в том смысле, что некоторые из них расположены ближе к одним исходным точкам (мнениям), чем к другим. Кроме того, число отношений, составляющих выпуклую оболочку исходного множества отношений, в практических приложениях может оказаться столь велико, что задача выбора окончательного решения на первом уровне будет трудноразрешимой. Поэтому здесь открываются широкие возможности для создания различных способов сокращения числа или направленного отбора отношений, из которых затем будет выбрано единственное групповое решение.

В следующих главах задача направленного формирования множества допустимых групповых решений будет решена для трех конкретных пространств. Сейчас мы проиллюстрируем общую идею решения такой задачи. В конкретных задачах в каждом выпуклом множестве можно выделить подмножество точек, с геометрической точки зрения расположенных однородно относительно исходных точек, порождающих выпуклую оболочку. Такое выделенное подмножество в дальнейшем будет называться ядром выпуклого множества. Ядро имеет простую геометрическую структуру: оно представляет собой выпуклое множество всех точек, лежащих между двумя точками, которые в дальнейшем будут обозначаться

Ни одна из точек, входящих в ядро, не «тяготеет» к какому-либо одному из исходных суждений. В этом смысле все точки ядра «равноправны». Очевидно, что они также удовлетворяют условию Парето. Исходя из этих свойств точки ядра признаются в геометрическом подходе допустимыми для поиска среди них групповых решений.