§ 8.6. Нечеткие предпочтения

Дадим следующее общее определение.

Определение 8.9. Нечетким предпочтением на множестве зывается произвольное рефлексивное линейное нечеткое отношение на множестве

Значение интерпретируется как степень выражение представления о том, что элемент хуже» элемента у Требования рефлексивности и линейности являются обычными в теории рационального выбора, так как они необходимы для существования функции выбора, основанной на предпочтении.

С понятием нечеткого предпочтения тесно связаны понятия строгого нечеткого предпочтения и нечеткого отношения безразличия.

Определение 8.10. Пусть нечеткое предпочтение на множестве Строгим нечетким предпочтением называется нечеткое отношение Р с функцией принадлежности.

Нечетким отношением безразличия называется нечеткое отношение с функцией принадлежности

Отметим сразу, что в силу (8.15) и (8.16) отношение Р является антисимметричным и антирефлексивным, симметричное и рефлексивное нечеткое отношение.

В теории рационального выбора большую роль играют отношения линейного квазипорядка, которые определяются как рефлексивные линейные транзитивные отношения. Эта роль обусловлена простой структурой таких отношений. Именно, оказывается (см. [14]), что каждое такое отношение определяет разбиение множества X на классы попарно неразличимых элементов, причем сами классы данным отношением уже просто упорядочены. Таким образом, требование одной лишь транзитивности предпочтения достаточно для весьма полного описания его структуры. Такая структура отношения линейного квазипорядка позволяет строить «хорошие» функции выбора, основанные на таких предпочтениях (см. [34]).

Ситуация резко меняется при переходе к рассмотрению нечетких предпочтений. Здесь требование одной лишь транзитивности оказывается слишком слабым для выявления какой-либо структуры, полезной для построения «разумной» функции выбора (хотя существование функции выбора в этом случае легко устанавливается (см. ниже § 12.4)). В следующем параграфе мы подробно изучим различные виды транзитивности нечетких предпочтений и связи между ними. Здесь же мы дадим соответствующее определение.

Определение 8.11. Предпочтение обладает свойствами тогда и только тогда, когда выполнены

соотношения соответственно

Очевидно, что свойства и (II) выражают просто транвитивность нечетких отношений соответственно.

В четком случае из транзитивности предпочтения следует выполнение всех свойств (8.18) — (8.21), что, по существу, и обусловливает «хорошую» структуру линейных квазипорядков. Ниже будет показано, что в нечетком случае связи между различными свойствами транзитивности значительно более слабы.