§ 8.7. Соотношения между свойствами транзитивности

В этом параграфе будут установлены все логические связи между различными свойствами транзитивности нечетких предпочтений (8.17) - (8.21).

Лемма 8.2.

Доказательство. В силу имеем

откуда следует (II).

Лемма 8.3.

Доказательство. Для отношений I утверждение теоремы доказано в работе [35]. Покажем, что отношение Р транзитивно. Нам надо показать, что

Очевидно, что можно считать Но тогда причем

Если то совпадает с условием транзитивности отношения

Предположим, что Тогда или Итак, мы имеем Среди этих шести чисел выберем наименьшее. Очевидно, возможны три случая:

а) Наименьшее есть Тогда Так как не наименьшее, то

Так как наименьшее число, то одно из тоже должно быть наименьшим, что противоречит исходным неравенствам.

б) Наименьшее есть Тогда откуда наименьшие. Так как то мы получаем противоречие.

в) Наименьшее есть Тогда Но заведомо не наименьшие, и мы опять получаем противоречие.

Отметим, что обратное утверждение неверно, т. е. транзитивность отношений вообще говоря, не влечет транзитивности отношений Таким образом, отношение безразличия всегда является нечетким отношением эквивалентности.

Лемма 8.4.

азательство. В силу условия

откуда или или т. е. Аналогично доказывается вторая часть утверждения леммы.

Лемма 8,5.

Доказательство. Надо показать, что

Рассмотрим два случая.

1) . Тогда в силу (8.15). Имеем

что и требовалась доказать.

2) . Если или равны нулю, то (8.22) тривиально. Пусть Тогда и в силу имеем

откуда так как Из следует, что так как линейное отношение. Но тогда

откуда по предыдущей лемме. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Доказательство следующей леммы вполне аналогично предыдущему, и мы его опускаем.

Лемма 8.6.

Следующая лемма утверждает, что условия в совокупности определяют транзитивное нечеткое предпочтение.

Лемма 8.7. .

Доказательство. Имеем в силу (8.18) — (8.21)

Следующие две леммы утверждают, что других логических связей между свойствами транзитивности, кроме перечисленных выше в леммах 8.2 — 8.4 и 8.5 — 8.7, не существует.

Лемма 8.8. Ни одно из свойств (8.17) — (8.21) не является следствием никакого собственного подмножества множества свойств не содержащего этого свойства.

Доказательство. Для каждого трехэлементного подмножества множества свойств мы построим пример нечеткого предпочтения, обладающего свойствами из этого подмножества и не обладающего остальными свойствами транзитивности. Существование таких примеров и доказывает лемму.

1) Рассмотрим подмножество Пусть на трехэлементном множестве X задано нечеткое предпочтение с мат рицей

Тогда имеют следующие матрицы

Легко проверяется, что обладает свойствами (II), и и не обладает свойствами и

2) Рассмотрим подмножество Определим нечеткое предпочтение матрицей

Очевидно, что Так как не транзитивно, то и (II) не выполнены, тогда как и выполняются.

3) Пусть подмножество условий. Определим нечеткое предпочтение матрицей

Имеем

Очевидно, что и выполнены. Имеем

т. е. также выполняется. Легко проверить, однако, что т. е. условия и не выполняются.

4) Рассмотрим, наконец, следующее подмножество Здесь требуемым примером является нечеткое предпочтение «с матрицей!

Для этого нечеткого предпочтения легко проверяется, что условия и выполнены, и нет.

Лемма 8.9. Из не следует или Доказательство. Рассмотрим нечеткое предпочтение обладающее свойством с матрицей

Это нечеткое предпочтение обладает свойствами и Очевидно, что для этого справедливо, что По лемме 8.4 отсюда следует, что и не выполнены.

Полученные результаты могут быть объединены в следующую теорему.

Теорема 8.4. Все логические связи между различными свойствами транзитивности (8.17) — (8.21) описываются диаграммами

и