§ 12.5. Выбор на основе отношения R

В этом разделе будет предложен подход к решению проблемы выбора подмножества «наилучших» альтернатив из заданного множества X альтернатив, подлежащих оценке. Выше было показано, как на основе закона взаимодействия на множестве X может быть построено нечеткое отношение предпочтения Значение функции принадлежности этого отношения интерпретировалось нами как «степень предпочтительности» альтернативы х альтернативе у. Так как исходное предпочтение является нечетким отношением, то естественно полагать, что и подмножество «наилучших» относительно альтернатив окажется нечетким подмножеством в Мы предлагаем следующее определение.

Определение 12.3. Пусть нечеткое предпочтение. Нечеткой функцией выбора основанной на нечетком предпочтении называется отображение, которое каждому нечеткому множеству ставит в соответствие нечеткое множество с функцией

принадлежности

В качестве обоснования для такого определения можно привести следующие соображения. Пусть четкое отношение линейного квазипорядка. Известно, что относительно множество X распадается на классы попарно неразличимых элементов, причем сами классы отношением уже линейно упорядочены. В этом случае применение формулы (12.2) к выделяет класс наилучших альтернатив относительно Таким образом, формулу (12.2) можно рассматривать как обобщение на произвольные нечеткие предпочтения такого понятия как «класс наилучших альтернатив относительно линейного квазипорядка».

Вообще говоря, если на не накладывать никаких ограничений, то множество наилучших альтернатив, определяемое формулой (12.2), может оказаться пустым и мы будем не в состоянии произвести выбор в Поэтому желательно иметь критерий, который на основе свойств предпочтения гарантировал бы возможность выбора. Как будет доказано в теореме 12.4, предпочтения возникающие на основе предложенного выше закона взаимодействия (12.1), всегда имеют непустое подмножество наилучших альтернатив

Легко проверить, что для четких формула (12.2) определяет обычную функцию выбора, как она понимается в теории выбора альтернатив.

Итак, нашей целью будет установление свойств нечетких функций выбора, аналогичных свойствам четких функций выбора. Во-первых, отметим, что для произвольного справедливо

и

Действительно, (12.3) очевидно, а (12.4) вытекает из тоже очевидного неравенства

Кроме того, свойство (12.4) есть аналог условия а работы [34], где оно установлено для четкого случая. (Впрочем, в разной форме это условие встречается в большинстве работ, посвященных рациональному выбору.)

Рассмотрим теперь некоторые достаточные условия существования функции выбора, т. е. условия того, что непустое множество для любого непустого множества

Теорема 12.4. Пусть транзитивное нечеткое предпочтение. Тогда для

Доказательство. Предположим противное, т. е. что

для непустого Пусть В силу найдется такой элемент что Аналогично, для найдется такой, что и т. д. Так как область X является конечным множеством, то на некотором шаге мы получим для В силу транзитивности имеем

Полученное противоречие завершает доказательство.

Таким образом, свойство (соотношение нечеткого предпочтения достаточно для существования нечеткой функции выбора, основанной на нечетком предпочтении Как показывает следующая теорема, достаточным является также и свойство (соотношение

Теорема 12.5. Пусть нечеткое предпочтение, обладающее свойством Тогда для

Доказательство почти дословно повторяет доказательство предыдущей теоремы.

Доказанные в этом параграфе теоремы, а также теоремы показывают, что применение формулы (12.2) для построения нечеткого подмножества «наилучших» альтернатив всегда дает непустое множество, если в качестве предпочтения используются отношения, возникающие из общей схемы, предложенной в предыдущем параграфе.

Рассмотрим теперь нечеткие функции выбора, основанные на линейных нечетких квазипорядках. Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 12.1. Пусть линейный нечеткий квазипорядок и Тогда функция и отлична от нуля лишь на одном классе отношения эквивалентности

Доказательство. Предположим, что Тогда, очевидно,

Имеем

Аналогично что противоречит

Теорема 12.6. Пусть линейный нечеткий квазипорядок. Тогда

Доказательство. Имеем

Пусть Тогда Но по предыдущей лемме из следует, что откуда и В силу отсюда следует утверждение теоремы.

Доказанная теорема устанавливает в нечетком случае известное свойство линейного квазипорядка, состоящее, грубо говоря, в том, что он не позволяет сделать выбор из множества лучших элементов.

В четком случае функция выбора, основанная на линейном квазипорядке, удовлетворяет следующему условию Эрроу независимости выбора от отвергнутых альтернатив [36]: из следует

Следующий пример показывает, что условие (12.6) для нечетких предпочтений нарушается даже в случае линейного нечеткого порядка.

Пусть задано матрицей

Рассмотрим следующие множества

Имеем

и

Условие (12.6) нарушается, если хотя условие разумеется, выполняется.

Нарушение условия независимости выбора от отвергнутых альтернатив обусловлено самой структурой нечеткой функции выбора, которая учитывает не только связи между альтернативами, но и их «силу». Исключая из рассмотрения часть альтернатив, мы, естественно, в общем случае увеличиваем степень принадлежности оставшихся альтернатив множеству (см. (12.2)).