Главная > Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 12.5. Выбор на основе отношения R

В этом разделе будет предложен подход к решению проблемы выбора подмножества «наилучших» альтернатив из заданного множества X альтернатив, подлежащих оценке. Выше было показано, как на основе закона взаимодействия на множестве X может быть построено нечеткое отношение предпочтения Значение функции принадлежности этого отношения интерпретировалось нами как «степень предпочтительности» альтернативы х альтернативе у. Так как исходное предпочтение является нечетким отношением, то естественно полагать, что и подмножество «наилучших» относительно альтернатив окажется нечетким подмножеством в Мы предлагаем следующее определение.

Определение 12.3. Пусть нечеткое предпочтение. Нечеткой функцией выбора основанной на нечетком предпочтении называется отображение, которое каждому нечеткому множеству ставит в соответствие нечеткое множество с функцией

принадлежности

В качестве обоснования для такого определения можно привести следующие соображения. Пусть четкое отношение линейного квазипорядка. Известно, что относительно множество X распадается на классы попарно неразличимых элементов, причем сами классы отношением уже линейно упорядочены. В этом случае применение формулы (12.2) к выделяет класс наилучших альтернатив относительно Таким образом, формулу (12.2) можно рассматривать как обобщение на произвольные нечеткие предпочтения такого понятия как «класс наилучших альтернатив относительно линейного квазипорядка».

Вообще говоря, если на не накладывать никаких ограничений, то множество наилучших альтернатив, определяемое формулой (12.2), может оказаться пустым и мы будем не в состоянии произвести выбор в Поэтому желательно иметь критерий, который на основе свойств предпочтения гарантировал бы возможность выбора. Как будет доказано в теореме 12.4, предпочтения возникающие на основе предложенного выше закона взаимодействия (12.1), всегда имеют непустое подмножество наилучших альтернатив

Легко проверить, что для четких формула (12.2) определяет обычную функцию выбора, как она понимается в теории выбора альтернатив.

Итак, нашей целью будет установление свойств нечетких функций выбора, аналогичных свойствам четких функций выбора. Во-первых, отметим, что для произвольного справедливо

и

Действительно, (12.3) очевидно, а (12.4) вытекает из тоже очевидного неравенства

Кроме того, свойство (12.4) есть аналог условия а работы [34], где оно установлено для четкого случая. (Впрочем, в разной форме это условие встречается в большинстве работ, посвященных рациональному выбору.)

Рассмотрим теперь некоторые достаточные условия существования функции выбора, т. е. условия того, что непустое множество для любого непустого множества

Теорема 12.4. Пусть транзитивное нечеткое предпочтение. Тогда для

Доказательство. Предположим противное, т. е. что

для непустого Пусть В силу найдется такой элемент что Аналогично, для найдется такой, что и т. д. Так как область X является конечным множеством, то на некотором шаге мы получим для В силу транзитивности имеем

Полученное противоречие завершает доказательство.

Таким образом, свойство (соотношение нечеткого предпочтения достаточно для существования нечеткой функции выбора, основанной на нечетком предпочтении Как показывает следующая теорема, достаточным является также и свойство (соотношение

Теорема 12.5. Пусть нечеткое предпочтение, обладающее свойством Тогда для

Доказательство почти дословно повторяет доказательство предыдущей теоремы.

Доказанные в этом параграфе теоремы, а также теоремы показывают, что применение формулы (12.2) для построения нечеткого подмножества «наилучших» альтернатив всегда дает непустое множество, если в качестве предпочтения используются отношения, возникающие из общей схемы, предложенной в предыдущем параграфе.

Рассмотрим теперь нечеткие функции выбора, основанные на линейных нечетких квазипорядках. Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 12.1. Пусть линейный нечеткий квазипорядок и Тогда функция и отлична от нуля лишь на одном классе отношения эквивалентности

Доказательство. Предположим, что Тогда, очевидно,

Имеем

Аналогично что противоречит

Теорема 12.6. Пусть линейный нечеткий квазипорядок. Тогда

Доказательство. Имеем

Пусть Тогда Но по предыдущей лемме из следует, что откуда и В силу отсюда следует утверждение теоремы.

Доказанная теорема устанавливает в нечетком случае известное свойство линейного квазипорядка, состоящее, грубо говоря, в том, что он не позволяет сделать выбор из множества лучших элементов.

В четком случае функция выбора, основанная на линейном квазипорядке, удовлетворяет следующему условию Эрроу независимости выбора от отвергнутых альтернатив [36]: из следует

Следующий пример показывает, что условие (12.6) для нечетких предпочтений нарушается даже в случае линейного нечеткого порядка.

Пусть задано матрицей

Рассмотрим следующие множества

Имеем

и

Условие (12.6) нарушается, если хотя условие разумеется, выполняется.

Нарушение условия независимости выбора от отвергнутых альтернатив обусловлено самой структурой нечеткой функции выбора, которая учитывает не только связи между альтернативами, но и их «силу». Исключая из рассмотрения часть альтернатив, мы, естественно, в общем случае увеличиваем степень принадлежности оставшихся альтернатив множеству (см. (12.2)).

1
Оглавление
email@scask.ru