Глава IX. ПРОСТРАНСТВА НЕЧЕТКИХ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ

Как уже отмечалось в главе IV, при рассмотрении общей теории геометрических структур выпуклых множеств в пространствах обычных бинарных отношений предпочтения в практических задачах используются не произвольные отношения предпочтения (четкие или нечеткие), а предпочтения, на которые налагаются дополнительные ограничения. Ограничения эти обычно диктуются особенностями задачи, а также желанием работать с предпочтениями, удовлетворяющими требованиям, естественным с точки зрения лиц, проводящих экспертизу. Такими естественными ограничениями являются, например, условия транзитивности и рефлексивности (или антирефлексивности). Особенности задачи могут привести исследователя к рассмотрению, например, только линейных нечетких отношений или отношений, все функции принадлежности которых принимают только значения 0 и 1, т. е. четких бинарных отношений.

§ 9.1. Структуры пространств нечетких бинарных отношений

Для того, чтобы не связывать себя пока никаким конкретным типом отношений, мы ограничимся следующим определением понятия «пространство нечетких бинарных отношений».

Определение 9.1. Пространством нечетких бинарных отношений над множеством А называется произвольное подмножество множества всех нечетких бинарных отношений на А.

Заметим сразу, что в ограничения, упомянутые в определении, может входить условие, что функции принадлежности принимают значения 0 и 1. Тем самым пространства четких предпочтений становятся частным случаем пространства нечетких предпочтений.

Несмотря на некоторую расплывчатость определения 9.1 (нет строгого определения системы ограничений), мы можем добиться

определенных результатов и в этом случае, если будем рассматривать все пространства нечетких предпочтений просто как некоторые совокупности нечетких предпочтений.

Следующие примеры дают представления о возможных пространствах нечетких предпочтений.

Пример 9.1. Пространство всех строгих отношений частичного порядка на множестве А. Оно является множеством всех функций на удовлетворяющих условиям

1) для всех (антирефлексивность),

2) для всех (транзитивность).

В главе II будет рассмотрена другая модель для

Пример 9.2. Пространство квазитранзитивных отношений на множестве А. Если Р, как обычно, обозначает строгое предпочтение для то состоит из всех функций на А таких, что

Пример 9.3. Пространство всех нечетких бинарных отношений на множестве А мощности Очевидно, что есть множество всех функций на удовлетворяющих условию Таким образом, естественно изоморфно множеству точек единичного куба в -мерном линейном пространстве.

Пусть произвольное пространство нечетких отношений.

В дальнейшем мы отождествляем точки пространства с соответствующими им отношениями. Перейдем к изучению геометрических структур в Для четкого случая эти структуры были введены и изучены в главе IV.

Определение 9.2. Пусть различные точки пространства Точка лежит между точками (обозначается Де тогда и только тогда, когда

Введенное понятие «между» допускает обобщение на случай произвольной совокупности предпочтений. Пусть I — множество индексов.

Определение 9.3. Пусть произвольное семейство точек пространства . Точка лежит между точками семейства (обозначается тогда и только тогда, когда

Докажем теперь вспомогательное утверждение, устанавливающее связь различных определений «между».

Лемма 9.1. Пусть два семейства в пространстве Тогда из для всех следует, что

Доказательство. Из следует

для Далее, по условию леммы

Очевидно, имеем

откуда

Следствие, Пусть Тогда любое лежащее между лежит также и между

Пусть — две различные точки пространства

Определение 9.4. Линейным сегментом между точками ; в пространстве назовем максимальное множество точек, лежащих между удовлетворяющее условию: для любых или или

Очевидно, что

Теорема произвольном пространстве нечетких отношений между любыми двумя различными точками существует линейный сегмент.

Доказательство. Предварительно докажем вспомогательное утверждение. Пусть точка в Определим на множестве всех точек пространства отношение следующим образом: тогда и только тогда, когда

Лемма 9.2. Отношение есть нестрогий частичный порядок на т. е. рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение.

Доказательство.

1. Рефлексивность. так как

2. Антисимметричность. Пусть Тогда имеем одновременно и откуда

Отсюда и, следовательно, выполняется только одно из исходных неравенств.

3. Транзитивность. Пусть и Тогда Из следствия к лемме 9.1 получаем откуда

Вернемся к доказательству теоремы 9.1. Отношение определенное на всем пространстве относительно точки превращает множество всех точек лежащих между в частично упорядоченное множество наименьшим элементом

и наибольшим элементом Напомним, что цепью в частично упорядоченном множестве называется такое подмножество, любые два элемента которого сравнимы. Легко видеть, что согласно определению 9.4 линейный сегмент есть ни что иное, как максимальная цепь относительно порядка Согласно известной теореме Хаусдорфа [31] максимальная цепь в частично упорядоченном множестве всегда существует. Такая максимальная цепь и задает нам линейный сегмент

Теорема 9.1 доказана.

Замечание. Теорема 9.1 устанавливает существование линейных сегментов. Вообще говоря, утверждение о единственности линейного сегмента неверно. Как правило, их может быть бесконечно много, если пространство 91 бесконечно.

В следующей теореме будет дана характеристика линейного сегмента, устанавливающая аналогию введенного понятия с понятием линейного сегмента, использованным в главе IV для четкого случая.

Теорема 9.2. Для любого линейного сегмента существует определенная на нем взаимнооднозначная функция со значениями в интервале [0, 1], удовлетворяющая следующим условиям;

2) тогда и только тогда, когда

Очевидно, что условие (2) означает, что число лежит между числами и тогда и только тогда, когда лежит между

Доказательство теоремы 9.2. Пусть, как обычно, обозначает функцию принадлежности отношения Определим функцию на пространстве формулой

где фиксированные точки пространства

Ограничение функции на будем обозначать тем же символом Докажем важное свойство функции тогда и только тогда, когда причем равенство достигается только в случае

Действительно, пусть функции принадлежности для Тогда

Очевидно, имеем

Суммируя эти неравенства по всем парам имеем

Отсюда получаем

Поскольку то

Пусть теперь для Покажем, что Предположим противное, т. е., что Повторяя почти дословно предыдущее рассуждение, получим

Отсюда Полученное противоречие доказывает, что

Покажем теперь, что функция на удовлетворяет всем условиям теоремы 9.2. Во-первых, функция взаимнооднозначна на в силу только что доказанного свойства. Очевидно также, что и Перейдем к доказательству свойства (2). Пусть сначала для и Пусть для определенности также Тогда Отсюда

и, следовательно, Используя доказанное выше свойство функции имеем Далее, из в силу следствия из леммы 9.1, имеем откуда Окончательно:

Остальные случаи разбираются аналогично. Пусть теперь для точек линейного сегмента Пусть для определенности Согласно свойству функции I имеем или

Отсюда получаем

и, следовательно, Теорема доказана.

Следствие. Из следует в линейном сегменте

Доказательство. Из имеем Но поскольку то

Функция определенная условиями теоремы 9.2, как бы нумерует точки линейного сегмента от