§ 10.3. Базис выпуклого множества

Поскольку полнота пространства уже доказана в § 10.2, и, следовательно, выпуклые оболочки в совпадают с множеством точек Парето, в этом параграфе будет рассмотрена более детально структура выпуклых множеств.

Для построения выпуклой оболочки множества М не всегда необходимо использовать все точки из М. Может оказаться

так, что для некоторого собственного подмножества

Определение 10.2. Минимальное (по включению) подмножество В множества М, обладающее свойством называется базисом. Точки базиса В называются базисными точками М.

Данное множество М может обладать различными базисами. Объединение всех базисов совпадает с множеством всех базисных точек. Другими словами, точка множества М является базисной тогда и только тогда, когда она входит в некоторый базис.

Изучим подробнее структуру базисных точек в пространстве В главе IX было рассмотрено пространство всех бинарных отношений на заданном множестве А. Доказанная там теорема 9.4 в применении к пространству утверждает, что

Тем самым, выпуклые оболочки в пространстве как бы «наследуются» из пространства Наш интерес к этой теореме в данном случае определяется тем обстоятельством, что выпуклые оболочки в могут быть описаны следующим простым образом.

Теорема 10.4. Выпуклая оболочка любого конечного множества М точек пространства имеет вид: где точки пространства

Доказательство. Положим

Очевидно, что Пусть В силу теоремы 9.3

т. е. Пусть теперь некоторое В силу выпуклости отсюда следует, что

Напомним (см. § 9.1, пример 9.3), что пространство всех нечетких бинарных отношений на множестве А из элементов отождествляется с -мерным кубом всех функций на удовлетворяющих условию С точки зрения такого представления пространства выпуклая оболочка, описанная в теореме 10.4, есть замкнутый параллелепипед в этом кубе с противоположными вершинами, определяемыми функциями принадлежности отношений т. е. множество функций удовлетворяет условию

Этот факт позволяет дать простое описание базисных точек выпуклой оболочки конечного множества М в пространстве

Оказывается, что базисные точки располагаются на границе параллелепипеда, являющегося выпуклой оболочкой множества М в пространстве Справедлива также следующая теорема.

Теорема 10.5. Если точка является базисной, то

хотя бы для одной пары

Доказательство. Предположим противное. Пусть В есть базис множества М, содержащий точку Р. Тогда, так как то имеем

для всех пар Рассмотрим множество Очевидно, Покажем, что Так как то достаточно показать, что Так как В, то из (10.3) следует, что

Очевидно, что Покажем, что Пусть Тогда откуда в силу (10.4) имеем

т. е. Мы доказали, что Поскольку В, доказанный факт противоречит определению В как минимального подмножества в М, удовлетворяющего условию Теорема доказана.

Отметим, что обратное к теореме 10.6 утверждение, вообще говоря, неверно. Может оказаться так, что точка множества М лежит на границе параллелепипеда, являющегося выпуклой оболочкой этого множества в пространстве но не является базисной. Рассмотрим пример.

Пример 10.1. Пусть множество А состоит из двух элементов. На рис. 10.1 изображена проекция пространства на подпространство нечетких антирефлексивных отношений на

множестве А. Такие отношения задаются матрицами вида, изображенного на рис. 10.2. Проекция есть тогда единичный квадрат на координатной плоскости Очевидно, что пространство есть объединение единичных отрезков на осях координат.

Пусть М состоит из трех частичных порядков с матрицами, представленными на рис. 10.3.

Рис. 10.1.

Рис. 10.2.

Рис. 10.3.

На рис. 10.1 эти точки обозначены буквами соответственно. Очевидно, что 0 удовлетворяет условию (2) теоремы 10.5. В то же время эта точка не входит в единственный базис множества М, который состоит из точек