§ 3.3. Диаграмма пространств

В практических задачах, где используются отношения предпочтения и безразличия, обычно интересно рассматривать не произвольные подмножества таких отношений, а совокупности отношений, обладающие определенными свойствами.

Рассмотрим сначала конкретные пространства слабых предпочтений.

пространство всех отношений слабого предпочтения.

пространство всех квазитранзитивных отношений [24], т. е. пространство всех слабых предпочтений, удовлетворяющих условию квазитранзитивности: для любого отношение транзитивно.

Пример 3.1. Примером отношения из пространства может служить отношение заданное матрицей

Легко проверить, что это отношение нетранзитивно (так как а отношение имеет матрицу

и транзитивно.

пространство линейных квазипорядков. Получается из требованием транзитивности отношения

Пример 3.2. Примером отношения из может служить транзитивное отношение, заданное матрицей

пространство совершенных порядков. Получается из требованием антисимметричности отношений

Пример 3.3. Примером отношения из может служить антисимметричное отношение, заданное матрицей

Связь между введенными пространствами слабого предпочтения можно изобразить в виде диаграммы 3.2, где стрелки указывают отображение вложения пространств: каждое предыдущее пространство есть подмножество последующего.

Пример 3.4. Теперь приведем пример отношения из пространства которое не принадлежит ни одному из вложенных в него пространств (см. диаграмму 3.2),

Это отношение не принадлежит пространству так как отношение имеющее матрицу

нетранзитивно.

Теперь рассмотрим пространства строгого предпочтения, соответствующие, согласно диаграмме 3.1, указанным пространствам слабого предпочтения.

пространство всех отношений строгого предпочтения.

— пространство всех отношений строгого частичного порядка, т. е. транзитивных отношений строгого предпочтения.

Пример 3.5. Пусть есть отношение из примера 3.1. Тогда отношение принадлежит пространству и имеет матрицу

Очевидно, что Р есть частичный порядок.

пространство всех квазисерий, т. е. строгих частичных порядков Р таких, что эквивалентность.

Пример 3.6. Пусть есть отношение из примера 3.2. Тогда отношение принадлежит пространству 0,9 и имеет матрицу

пространство всех совершенных строгих порядков.

Пример 3.7. Пусть есть, отношение из примера 3.3. Тогда отношение принадлежит пространству и имеет матрицу

Связь введенных пространств изображена на диаграмме 3.3, где стрелки указывают вложение пространств.

Пример 3.8. Для из примера 3.4 отношение с матрицей

служит примером отношения из пространства которое не принадлежит ни одному из вложенных в него пространств из диаграммы 3.3.

Наконец, в соответствии с диаграммой 3.1, определим пространства отношений безразличия.

пространство всех отношений безразличия, т. е. симметричных и рефлексивных отношений. Такие отношения называются отношениями толерантности [33]. Поэтому мы в дальнейшем будем называть это пространство пространством толерантностей.

пространство всех транзитивно ориентируемых отношений толерантности, т. е. таких отношений толерантности

что дополнение к Т представляется в виде объединения взаимно обратных транзитивных отношений.

Пример 3.9. Для отношения из примера 3.1 отношение имеет матрицу

Дополнение к этому отношению имеет матрицу

и представляется в виде объединения взаимнообратных отношений с матрицами

соответственно.

— пространство всех отношений эквивалентности.

Пример 3.10. Для отношения из примера 3.2 отношение имеет матрицу

Очевидно, что есть эквивалентность.

пространство всех отношений равенства. Очевидно, что оно состоит из одной точки, матрица отношений которой есть диагональная матрица.

Так же как и в предыдущих случаях укажем связь введенных пространств на одной диаграмме

Пример 3.11. Подобно тому, как это было сделано в примерах 3.4 и 3.8, приведем пример отношения из пространства не принадлежащего ни одному из вложенных в него пространств на диаграмме 3.4. Бели мы возьмем для этой цели отношение из примера 3.4, то получим отношение I с матрицей

Легко видеть, что отношение с такой матрицей является эквивалентностью и, следовательно, принадлежит пространству Таким образом, полученное отношение, против ожиданий, не является примером отношения, принадлежащего пространству и не принадлежащего вложенным в него пространствам.

В данном случае этот факт объясняется тем, что отображение а (диаграмма 3.1) является сюръективным, а не биективным отображением. Другими словами, прообраз точки из пространства в пространстве Ф состоит, вообще говоря, из нескольких точек. В нашем примере в этот прообраз, наряду с отношением из примера 3.4 входит, скажем, отношение с матрицей

А это отношение принадлежит пространству что и объясняет принадлежность отношения I пространству

Искомый пример можно привести лишь в случае, когда мощность носителя А не менее 5. В случае таким примером может служить отношение с матрицей

Подобные отношения, входящие среди прочих в пространство называются транзитивно неориентируемыми. В терминах теории графов транзитивно ориентируемые и неориентируемые отношения изучались в работе Гилмора и Гофмана [25].

Диаграммы 3.1-3.4 можно объединить в одну трехмерную диаграмму 3.5. Вертикальные отображения на этой диаграмме

являются вложениями пространстве, а типы горизонтальных отображений определены в § 3.2.

Покажем теперь, что диаграмма 3.5 коммутативна. Это означает, что любые два пути, идущие в направлении стрелок из одного пространства в другое, определят одно и то же отображение этих пространств.

Лемма 3.1. Любой квадрат отображений на диаграмме 3.5 коммутативен.

Доказательство. Утверждение леммы непосредственно следует из того, что вертикальные стрелки суть вложения, определяемые одинаковыми формулами.

Лемма 3.2. Любой треугольник отображения на диаграмме 3.5 коммутативен.

Доказательство непосредственно следует из утверждения 3.2. Теорема 3.1. Диаграмма 3.5 коммутативна. Доказательство. Нам надо показать, что любые два пути, идущие из одного пространства в другое, эадают одно и то же отображение. Для примера рассмотрим следующие два пути:

Последний путь в силу леммы 3.2 задает то же отображение, что и путь

Последний путь в силу леммы 3.1 задает то же отображение, что и путь

В силу той же леммы 3.1 последний путь задает то же отображение, что и первый путь

Сводная схема из двенадцати пространств (диаграмма 3.5) содержит пространства многих отношений, используемых на практике и исследуемых в теории полезности и группового выбора. Четыре пространства из этой системы изучались в рамках метрического подхода. Так в [1] впервые на аксиоматической основе в пространстве была введена и использована концепция расстояния между ранжированиями для построения ранжирования, «согласованного» с данными. В [13] аналогичный подход был развит для расстояния в пространстве эквивалентностей а в [26] — для пространства квазисерий (изоморфного пространству В пространстве строгих частичных порядков 9 расстояние аксиоматически было введено в [15]. Проблема группового выбора в этих пространствах всеми авторами ставилась так, как она была сформулирована в главе I для первого уровня общности.

Таким образом, в метрическом подходе изученными оказались все пространства второго (снизу) «этажа» диаграммы 3.5 и одно пространство — с третьего. Интересным фактором представляется появление в этой схеме двух не изучавшихся ранее пространств третьего «этажа». Точки пространства квазитранзитивных отношений в общем случае представляют собой отношения менее «жесткие» в части требований транзитивности, чем отношения из и имеют содержательный, эмпирический эквивалент в теории экономического поведения. Более подробно пространство будет изучаться в главе IV. Пространство содержит такие отношения толерантности из которые совпадают с отношением где Р — квазитранзитивное отношение. Другими словами, отношения из суть отношения неразличимости [14] для отношений из В данной работе это пространство не изучается.

Самостоятельной и интересной представляется задача расширения этой схемы или за счет введения в нее других, часто используемых в приложениях и теоретических исследованиях отношений, или за счет пространств с несколькими отношениями, например, с отношением древесного порядка и лексикографического порядка [32] и т. п.

Таким образом, изображенная на диаграмме 3.5 система пространств бинарных отношений в наглядной форме представляет мир таких пространств. Она позволяет указать место как уже изученных в метрическом подходе пространств, так и тех, которые будут рассматриваться в данной работе. Выявленные связи между пространствами будут использованы для переноса постановок задач и методов их решения из одних пространств в другие.