Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8.5. Структура нечетких отношений эквивалентностиВ этом параграфе будет полностью описана структура нечетких эквивалентностей на конечном множестве. Напомним определение нечеткого отношения эквивалентности на множестве Определение 8.5. Нечеткое отношение 1. Рефлексивность:
2. Симметричность:
3. Транзитивность:
Отметим, что условие транзитивности, в силу рефлексивности, может быть записано в виде В четком случае каждое отношение эквивалентности определяет разбиение множества X на непересекающиеся классы попарно эквивалентных элементов. Множество всех классов образует фактор-множество Ниже будут определены нечеткие аналоги этих понятий и доказаны аналогичные свойства нечетких эквивалентностей, классов и канонических отображений. Определение 8.6. Пусть I — нечеткая эквивалентность на множестве В силу Лема Доказательство. Пусть
и
откуда Следствие 8.1.
Доказательство. Пусть
Множество различных классов множества X относительно нечеткой эквивалентности Следующая теорема характеризует основные свойства классов. Теорема 8.1. Пусть I — нечеткая эквивалентность на
т. е. объединение (8.5) всех классов есть множество
(симметричность классов);
(свойство ограниченности пересечений классов). Доказательство. Свойства (1) и (2) тривиально следуют из определения классов. Далее,
что и требовалось доказать. Следствие 8.2. Доказательство. Достаточность непосредственно следует из (8.7). Пусть теперь
что и требовалось доказать. Основное отличие нечетких классов от четких состоит в возможности непустого пересечения нечетких классов. Однако, есть условие (8.7), дающее количественную оценку высоты пересечения нечетких классов. Последнее следствие утверждает, что условие равенства нулю связи между двумя элементами множества X является необходимым и достаточным для непересечения соответствующих нечетких классов. Рассмотрим теперь вопрос о построении нечеткой эквивалентности по ее классам. Дадим следующее определение, обобщающее понятие разбиения на нечеткий случай. Определение 8.7. Нечетким разбиением множества X называется конечное множество
Из условий (8.8) и (8.9) легко следует, что для каждого Легко, однако, проверить, что не каждое нечеткое разбиение является множеством классов некоторой нечеткой эквивалентности. Следующая теорема содержит условия того, что нечеткое разбиение определяет нечеткую эквивалентность. Теорема 8.2. Если нечеткое разбиение
и
то оно является фактор-множеством множества X относительно нечеткой эквивалентности
Доказательство. Установим необходимые свойства нечеткого отношения
откуда
Таким образом, I является также транзитивным отношением. Из (8.12) очевидно, что классы относительно I совпадают с элементами нечеткого разбиения Теорема 8.2 дает законченное описание нечетких отношений эквивалентности в терминах нечетких разбиений. Пусть Определение 8.8. Пусть 1 — нечеткая эквивалентность на множестве X, а
называется каноническим отображением. Отметим сразу, что (8.13) определено корректно. Действительно, если
в силу леммы 8.1. Аналогично Следующая теорема устанавливает свойства канонического нечеткого отображения, аналогичные свойствам четкого канонического отображения. Теорема 8.3. Нечеткое соответствие
Доказательство. Имеем
Так как для
так как из Теорема доказана. Легко видеть, что образ элемента Утверждение теоремы 8.3, вообще говоря, не допускает обращения. Точнее, может существовать сюръективное нечеткое отображение
Легко проверить, что я задается матрицей
нечеткое отображение
является сюръективным, и В отличие от четкого случая не всякое нечеткое отображение порождает нечеткую эквивалентность. Пусть
Далее, из тех же соображений
Следовательно,
|
1 |
Оглавление
|