§ 8.5. Структура нечетких отношений эквивалентности

В этом параграфе будет полностью описана структура нечетких эквивалентностей на конечном множестве. Напомним определение нечеткого отношения эквивалентности на множестве

Определение 8.5. Нечеткое отношение на множестве X называется нечеткой эквивалентностью, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. Рефлексивность:

2. Симметричность:

3. Транзитивность:

Отметим, что условие транзитивности, в силу рефлексивности, может быть записано в виде

В четком случае каждое отношение эквивалентности определяет разбиение множества X на непересекающиеся классы попарно эквивалентных элементов. Множество всех классов образует фактор-множество Обратно, каждое разбиение множества X определяет на этом множестве некоторое отношение эквивалентности. Существует также сюръективное отображение называемое каноническим, в терминах которого могут быть описаны как само отношение эквивалентности (ядро канонического отображения ), так и его классы (прообразы элементов фактормножества).

Ниже будут определены нечеткие аналоги этих понятий и доказаны аналогичные свойства нечетких эквивалентностей, классов и канонических отображений.

Определение 8.6. Пусть I — нечеткая эквивалентность на множестве Нечетким классом элемента относительно называется нечеткое множество такое, что

В силу т. е. высота каждого нечеткого класса равна 1.

Лема тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть Тогда Обратно, пусть Тогда в силу (8.3) имеем

и

откуда .

Следствие 8.1.

Доказательство. Пусть Тогда, в силу конечности множества X, найдется такой, что откуда

Множество различных классов множества X относительно нечеткой эквивалентности называется фактор-множеством и обозначается Таким образом, есть элемент множества и два таких элемента совпадают тогда и только тогда, когда

Следующая теорема характеризует основные свойства классов. Теорема 8.1. Пусть I — нечеткая эквивалентность на Тогда

т. е. объединение (8.5) всех классов есть множество

(симметричность классов);

(свойство ограниченности пересечений классов).

Доказательство. Свойства (1) и (2) тривиально следуют из определения классов. Далее,

что и требовалось доказать.

Следствие 8.2. тогда и только тогда, когда

Доказательство. Достаточность непосредственно следует из (8.7). Пусть теперь Тогда

что и требовалось доказать.

Основное отличие нечетких классов от четких состоит в возможности непустого пересечения нечетких классов. Однако, есть

условие (8.7), дающее количественную оценку высоты пересечения нечетких классов. Последнее следствие утверждает, что условие равенства нулю связи между двумя элементами множества X является необходимым и достаточным для непересечения соответствующих нечетких классов.

Рассмотрим теперь вопрос о построении нечеткой эквивалентности по ее классам. Дадим следующее определение, обобщающее понятие разбиения на нечеткий случай.

Определение 8.7. Нечетким разбиением множества X называется конечное множество различных нечетких множеств у с общей областью X таких, что

Из условий (8.8) и (8.9) легко следует, что для каждого существует единственный элемент такой, что Введенное обозначение устанавливает адекватность условий (8.8) и (8.9) свойствам классов (8.4) и (8.7).

Легко, однако, проверить, что не каждое нечеткое разбиение является множеством классов некоторой нечеткой эквивалентности. Следующая теорема содержит условия того, что нечеткое разбиение определяет нечеткую эквивалентность.

Теорема 8.2. Если нечеткое разбиение множества X удовлетворяет условиям

и

то оно является фактор-множеством множества X относительно нечеткой эквивалентности определяемой функцией принадлежности

Доказательство. Установим необходимые свойства нечеткого отношения определяемого условием (8.12). По определению имеем т. е. I рефлексивно. Далее, в силу (8.10)

откуда симметричное отношение. Наконец, в силу (8.11), имеем

Таким образом, I является также транзитивным отношением. Из

(8.12) очевидно, что классы относительно I совпадают с элементами нечеткого разбиения Теорема доказана.

Теорема 8.2 дает законченное описание нечетких отношений эквивалентности в терминах нечетких разбиений.

Пусть некоторая нечеткая эквивалентность на множестве Каждый элемент принадлежит, вообще говоря, разным классам, причем каждый раз мы можем указать степень принадлежности данного элемента данному классу. Поэтому каноническое отображение я множества X на фактор-множество является нечетким отображением. Дадим строгое определение и докажем свойства канонического отображения.

Определение 8.8. Пусть 1 — нечеткая эквивалентность на множестве X, а фактор-множество относительно Нечеткое соответствие с функцией принадлежности

называется каноническим отображением.

Отметим сразу, что (8.13) определено корректно. Действительно, если то

в силу леммы 8.1. Аналогично откуда что доказывает корректность (8.13).

Следующая теорема устанавливает свойства канонического нечеткого отображения, аналогичные свойствам четкого канонического отображения.

Теорема 8.3. Нечеткое соответствие , определенное формулой (8.13), является сюръективным нечетким отображением множества X на фактор-множество причем

Доказательство. Имеем

Так как для выполнено то является нечетким диагональным отношением на и — сюръективно. Далее,

так как из следует

Теорема доказана.

Легко видеть, что образ элемента относительно я состоит в точности из тех классов, которые содержат х, а прообраз любого класса есть сам этот класс, рассматриваемый как нечеткое множество.

Утверждение теоремы 8.3, вообще говоря, не допускает обращения. Точнее, может существовать сюръективное нечеткое отображение такое, что в то же время не являющееся каноническим отображением. Пусть, например, X — трехэлементное множество, а нечеткая эквивалентность I задана матрицей

Легко проверить, что я задается матрицей

нечеткое отображение заданное матрицей

является сюръективным, и

В отличие от четкого случая не всякое нечеткое отображение порождает нечеткую эквивалентность. Пусть некоторое нечеткое отображение. Покажем, что прообразы элементов образуют нечеткое разбиение множества Так как нечеткое отображение, то

Далее, из тех же соображений

Следовательно, также образует нечеткое разбиение. Полученное нечеткое разбиение множества X, вообще говоря, не удовлетворяет условиям (8.10) и (8.11) и, следовательно, может не задавать нечеткую эквивалентность на