Глава VIII. НЕЧЕТКИЕ СООТВЕТСТВИЯ, НЕЧЕТКИЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ, НЕЧЕТКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

§ 8.1. Введение

Экспертные методы используются главным образом в ситуациях, которые характеризуются большой сложностью решаемой проблемы и неопределенностью исследуемых объектов. Экспертные оценки, призванные разрешить эту неопределенность, часто представляются в форме обычных бинарных отношений, которые позволяют однозначно выразить, по сути дела, простой факт: какие объекты из оцениваемой совокупности находятся или не находятся в данном отношении. В то же время однозначный ответ на вопрос «находятся или не находятся?» не всегда возможен. Очевидно, что каждый читатель может припомнить случай, когда поставленный в аналогичную ситуацию, он чувствовал, что более точным был бы ответ, содержащий в себе оценку той степени, с которой объекты находятся в данном отношении. Конечно, содержательная интерпретация такой меры может быть различной, в зависимости от физической природы задачи, например, она может пониматься как степень уверенности, что объекты находятся в данном отношении. Язык теории нечетких множеств дает возможность для выражения таких величин и тем самым оказывается во многих случаях более адекватным условиям экспертного оценивания, чем обычная «четкая» теория.

Обозревая уже изложенный материал, мы видим, что в наших рассмотрениях существенную роль играли свойства отображений, которые нам приходилось использовать. Так было при введении понятий теории измерений, построении схемы пространств предпочтений и безразличия и исследовании взаимосвязей между ними, решении задачи группового выбора в расширенной постановке. Поэтому, развивая геометрический подход к проблеме группового выбора в нечетком случае нам, с одной стороны, хотелось бы использовать уже полученные результаты и разработанные методы, а с другой стороны, мы должны внимательно

рассмотреть вопрос: что же нового привносит в развиваемый подход использование информации нового вида — нечетких отношений предпочтения.

С этой целью мы в первую очередь предпримем исследования свойств и структур нечетких отношений. Оказывается, что многие структурные свойства четких отношений, как правило, непосредственно не переносятся на нечеткий случай, что затрудняет построение и исследование пространств нечетких отношений по схеме, аналогичной диаграмме 3.5. Однако для случая отношений частичного порядка такая экспликация возможна и будет в дальнейшем реализована построением метрического и геометрического подходов к решению проблемы группового выбора.

Эта часть книги содержит главы с VIII по XII. Глава VIII посвящена общему введению в теорию нечетких отношений. В главе IX будут рассмотрены геометрические структуры в произвольном пространстве нечетких отношений. Полученные в главе IX результаты в следующей главе развиваются для пространств нечетких частичных порядков, для которых там вводится также и метрическая структура. В главе XI предлагается решение проблемы построения групповых решений в пространстве нечетких частичных порядков. В заключительной главе описывается метод получения нечетких отношений предпочтения с использованием «эталонных» объектов и рассматривается проблема выбора на основе полученных нечетких отношений предпочтения.

Эту главу мы начнем с краткого очерка основных понятий теории нечетких отношений. Здесь будут рассмотрены представления нечетких отношений, действия над нечеткими отношениями и свойства нечетких отношений. Как было указано выше, структура нечетких отношений не всегда адекватна структуре соответствующих четких отношений. Это будет продемонстрировано при проведении сравнительного анализа структуры отношений нечеткой эквивалентности и нечеткого квазипорядка и исследовании связей между свойствами транзитивности.