§ 12.3. Общая схема производства экспертных оценок

Для получения отношений индивидуального предпочтения при использовании четких отношений применяют, как правило, одну из двух известных схем: или одновременное сравнение (раняшро-вание) по предпочтительности всех объектов, или одновременное сравнение только двух объектов (парное сравнение). Известно, что парные сравнения — наиболее простые в производстве, однако их объем может быть очень велик в случае полных парных сравнений.

Рассмотрим следующую общую схему производства экспертных оценок. Пусть наряду с множеством исследуемых объектов экспертам предъявляется также множество «эталонных» объектов Эксперты производят парные сравнения где Функционирование такой схемы определяется тремя отношениями: наперед заданным отношением на множестве эталонных объектов искомым отношением на множестве исследуемых объектов X и отношением между этими двумя множествами. Другими словами, отношение фиксирует состояние системы эталонных множеств, искомое отношение должно характеризовать состояние системы элементов а (отношение) отображение определяет характер взаимодействия между этими системами, характер их согласования.

Однако для полного описания такой схемы указанных трех отношений, очевидно, недостаточно. Работа общей схемы будет определяться постулатом, закладываемым в основу закона взаимодействия этих трех отношений и, естественно, свойствами формальной реализации такого закона взаимодействия. Прежде чем перейти к обсуждению предлагаемого здесь закона взаимодействия, мы кратко напомним некоторые формальные свойства и определения.

Определение 12.1. Нечетким отношением между множествами называется нечеткое подмножество прямого произведения В случае, если то отношение называется отношением на множестве

Определение 12.2. Пусть отношение между отношение между Композицией отношений называется отношение Т между с функцией принадлежности

В следующем параграфе мы будем рассматривать отношение нечеткого частичного порядка: антисимметричное для транзитивное отношение, и линейного нечеткого порядка, т. е. такое отношение частичного порядка, что для любой пары или или свойство связности.

В терминах композиции бинарных отношений свойство транзитивности нечеткого отношения заданного на множестве X может быть записано в виде для всех

В теории принятия решений рассматриваются отношения предпочтения: рефлексивные для всех связные бинарные отношения. Их структура описывается следующим образом.

Пусть такое отношение, т. е. рефлексивное и связное бинарное отношение. Обозначим через I бинарное отношение с функцией принадлежности и через Р — бинарное отношение с функцией принадлежности

отношения называются отношениями безразличия и строгого предпочтения для предпочтения

Для этих трех отношений справедливо следующее утверждение, доказанное в лемме 8.2.

Теорема 12.1. Если транзитивное нечеткое отношение предпочтения, то отношения также являются транзитивными.

Обратная теорема неверна, т. е. транзитивность отношений вообще говоря, не влечет транзитивности отношения Наш интерес к свойствам транзитивности связан с тем, что условия транзитивности отношения Р достаточно для существования функции выбора, определяемой отношением