§ 8.3. Действия над нечеткими бинарными отношениями. Свойства нечетких бинарных отношений

Напомним, что в теории нечетких множеств большую роль играют операции которые являются операциями взятия максимума и минимума для действительных чисел. С помощью этих операций мы введем действия над нечеткими бинарными отношениями, используемыми в данной работе.

1. Пересечением нечетких бинарных отношений называется нечеткое бинарное отношение определяемое функцией принадлежности

Пример 8.1. Пусть матрицы отношений имеют вид

Тогда матрица отношения имеет вид

2. Объединением нечетких отношений называется нечеткое бинарное отношение определяемое функцией принадлежности

Пример 8.2. Для отношений из примера 8.1 имеем

3. Дополнением нечеткого отношения называется отношение с функцией принадлежности

Пример 8.3. Для отношения Р из примера 8.1 имеем

4. Обратным отношением к отношению Р называется отношение с функцией принадлежности

Очевидно, что матрица является транспонированной к матрице

Пример 8.4. Для отношения Р из примера 8.1 имеем

5. Композицией двух нечетких отношений называется отношение с функцией принадлежности

Введенное здесь определение композиции соответствует макси-минной композиции, введенной в работе Заде [29]. Отметим, что композиция двух нечетких отношений может определяться также с использованием других бинарных операций вместо операции

Квадратом отношений Р называется композиция отношения Р с самим собой:

Аналогично определяется степень нечеткого бинарного отношения Р:

Пример 8.5. Для отношений из примера 8.1 имеем

Матрица композиции отношений есть максиминное произведение матриц этих отношений. Заметим, что совпало с Р.

6. Отношение включения Р выполняется тогда и только тогда, когда для каждой пары выполняется условие

Так же как и четкие бинарные отношения, нечеткие отношения различаются по своим свойствам. Ниже мы перечислим наиболее важные из них.

1. Рефлексивность нечеткого бинарного отношения означает, что В матрице рефлексивного нечеткого отношения на главной диагонали стоят единицы.

2. Антирефлексивность нечетного отношения означает, что В матрице антирефлексивного нечеткого отношения на главной диагонали стоят нули.

3. Симметричность нечеткого отношения означает, что . Матрица симметричного отношения есть симметричная матрица.

4. Антисимметричность нечеткого отношения означает, что из следует, что для . В матрице антисимметричного отношения произведение симметричных относительно главной диагонали элементов равно нулю.

5. Транзитивность нечеткого отношения означает, что для любых выполняется соотношение

В терминах композиции отношений это условие означает, что Можно показать, что для рефлексивного транзитивность означает, что Примером транзитивного нечеткого отношения может служить отношение Р из примера 8.1 как это было показано в примере 8.5.

Транзитивным, замыканием нечеткого отношения называется наименьшее транзитивное отношение, содержащее Транзитивное замыкание отношения может быть найдено по формуле

где

6. Линейность (связность) нечеткого отношения означает, что для любой пары или или