§ 8.4. Типы нечетких бинарных отношений. Нечеткие отображения

Различные комбинации перечисленных свойств определяют важнейшие классы нечетких отношений. Мы перечислим те из них, которые будут использованы в настоящей работе.

1. Частичный нечеткий порядок. Так называются антисимметричные транзитивные нечеткие отношения. Если наложены дополнительно условия рефлексивности или антирефлексивности, то соответствующий частичный нечеткий порядок называется рефлексивным или антирефлексивным.

2. Линейный нечеткий порядок. Если частичный нечеткий порядок обладает свойством линейности, то он называется линейным порядком.

3. Нечеткая эквивалентность. Так называется рефлексивное, симметричное и транзитивное нечеткое отношение.

4. Нечетная диагональ. Рефлексивные нечеткие отношения А такие, что для называются нечеткими диагоналями, или диагональными отношениями.

Ниже будут также определены понятия нечеткого отношения квазипорядка и нечеткого квазитранзитивного отношения.

Если элементы множества занумерованы, то бинарные нечеткие отношения представляются квадратными матрицами с элементами, принадлежащими [0, 1]. В этом случае для нечеткого частичного порядка нумерация элементов множества А может быть выбрана так, что отношение представляется треугольной матрицей. Точнее, справедливо следующее утверждение, являющееся частным случаем теоремы, доказанной Заде в [30].

Утверждение 8.1. Пусть Р — отношение строго нечеткого частичного порядка на множестве А из элементов. Тогда существует такая нумерация элементов множества что из следует, что

Нумерацию, существование которой имеется в виду в утверждении, будем называть согласованной с Р. Отметим, что такая нумерация определяется, вообще говоря, неоднозначно.

Доказательство утверждения 8.1. Обозначим через нечеткое подмножество состоящее из тех пар для которых Легко видеть, что есть четкий частичный порядок. Пусть какая-нибудь нумерация множества А, согласованная с этим частичным порядком. Очевидно, что это и есть искомая нумерация.

Если Ф — нечеткое соответствие с областью нечеткое отношение на то нечеткое отношение Ф на называется образом нечеткого отношения относительно нечеткого соответствия Ф. Прообразом нечеткого отношения относительно нечеткого соответствия Ф называется его образ относительно обратного соответствия

Другой важный частный случай нечеткого соответствия — это понятие нечеткого отображения.

Определение 8.4. Нечетким отображением множества X в нечеткое множество называется такое нечеткое соответствие с областью что

где некоторые диагональные нечеткие отношения (зависящие от на множествах соответственно. Как обычно, будет обозначать нечеткое отображение множества X во множество

Условие (1) означает, что для каждого существует не более одного у такого, что (функциональность нечеткого отображения). Условие (2) означает, что для каждого существует такой, (т. е. что всюду определено на X). Нечеткое отображение называется

инъективным, если и сюръективным, если для некоторых нечетких диагоналей

Понятие образа и прообраза для нечетких отображений те же, что и для нечетких соответствий.