§ 6.3. Полные и неполные пространства
Как видно из изложенного выше, в основе всех построений в рамках геометрического подхода лежит эквивалентность двух понятий выпуклости — геометрического и опирающегося на принцип единогласия Парето. В § 4.2 был доказан простой критерий, позволяющий установить наличие такой эквивалентности. Для этого достаточно потребовать, чтобы рассматриваемое пространство бинарных отношений удовлетворяло условию полноты (см. § 4.2). Однако полнота пространств не является необходимым условием эквивалентности двух понятий выпуклости. Так, например, пространство 
отношений толерантности не является полным, однако для него можно доказать эквивалентность двух понятий выпуклости.
На диаграмме 3.5 можно легко указать пространства, являющиеся полными. Это пространства 
последнее — тривиально полное. Все остальные пространства полными не являются. Однако для некоторых из них довольно легко устанавливается эквивалентность двух понятий выпуклости. Такими пространствами являются два изоморфных пространства 
изученные в предыдущем параграфе, а также пространства 
Пространство разбиений 
дает нам пока единственный пример пространства, в котором два определения выпуклости не совпадают и приводят, вообще говоря, к разным выпуклым множествам. Покажем это на следующем примере.
Пусть 
Рассмотрим множество 
элементы которого задаются матрицами отношений
Легко проверить, что множество X является выпуклым в смысле определения 4.4. Однако оно не является выпуклым в смысле определения 4.5, так как отношение эквивалентности 
с
матрицей
лежит между всеми элементами из X (оно совпадает с 
но не принадлежит 
Следующая таблица подводит итог рассмотрению свойств полноты и выпуклости для пространств из диаграммы 3.5.
