§ 10.4. Ядро выпуклой оболочки

Основной задачей развиваемого подхода является построение множества допустимых групповых решений в пространстве Такое множество допустимых групповых решений будет построено в этом параграфе в виде ядра выпуклой оболочки. Результаты предыдущего параграфа относительно структуры базисных точек позволяют ввести следующее

Определение 10.2. Граничным слоем множества М в пространстве назовем множество всех точек этого множества, удовлетворяющих условию теоремы 10.5.

Как следует из теоремы 10.5, граничный слой содержит все базисные точки множества М. С геометрической точки зрения все точки множества находятся на «периферии» выпуклой оболочки В соответствии с идеями геометрического подхода (гл. 1), мы хотим определить ядро множества как некоторое подмножество выпуклой оболочки, находящееся в ее «середине». С этой точки зрения точки границы непригодны для построения ядра. Введем следующее определение.

Определение 10.3. Внутренностью множества М назовем множество

Очевидно, что

Обозначим и определим последовательность множеств М рекуррентным соотношением

Так как М — конечное множество, то последовательность начиная с некоторого номера стабилизируется: Это означает, что

Таким образом, нами построена последовательность вложенных подмножеств множества М, последнее из которых совпадает со своим граничным слоем.

Определение 10.4. Ядром конечного множества М точек пространства будем называть выпуклую оболочку последнего непустого множества в последовательности (10.5):

Описанное в этом определении множество нечетких частичных порядков в свете проблемы группового выбора представляет собой множество групповых решений, допустимых для выбора среди них одного единственного решения.

Ход рассуждений, приведшей нас к понятию ядра, подсказывает следующую простую процедуру его построения.

Пусть М — конечное множество точек в пространстве

Обозначим Для определим процедуру построения ядра следующим образом.

Шаг 1. Среди точек множества М выделим те, у которых функция принадлежности хотя бы на одной паре совпадает с или с Эти точки составляют множество Определяем

Шаг 2. Если то полагаем Если то и переходит к шагу 1.

Как указывалось выше, эта процедура за конечное число шагов позволяет сформировать множество