4.2.2. ПРИНЦИП ДЕКОРРЕЛЯЦИИ

В общем случае не удается определить совместную плотность распределения признаков аналитически. Поэтому в последнее время появилось большое число публикаций, посвященных экспериментальному исследованию распределений различных признаков РРЦ. Обзор результатов, полученных в этой области, приведен в [1, 40, 46]. Как правило, в экспериментальных работах исследуются одномерные распределения признаков. Известно, однако, что неучет статистических зависимостей между признаками снижает достоверность распознавания [26, 47]. В принципе совместные распределения признаков классов экспериментально могут быть оценены в численном виде. Однако после этого трудно представить их в форме, позволяющей решать задачи оптимизации РРЦ и не требующей большого объема памяти . Во избежание этого следует построить совместное распределение признаков, ограничившись учетом только парных корреляций между ними. Для пояснения рассмотрим случайный вектор X, компоненты которого статистически зависимы. Требуется определить совместную плотность распределения компонентов этого вектора. Допустим, что существует такое преобразование при котором компоненты вектора У статистически независимы. В этом случае совместная плотность распределения компонентов вектора , а совместная плотность распределения компонентов вектора X

выражается через произведение одномерных плотностей распределений которые можно найти по результатам эксперимента известными способами — якобиан преобразования).

В общем случае преобразование нелинейно и определить его затруднительно. Если ограничиться только линейными зависимостями и допустить, что отсутствие парных корреляций между компонентами вектора У эквивалентно статистической независимости последних, то искомое преобразование будет линейным. Оно задается матрицей А собственных векторов ковариационной матрицы V вектора X. В самом деле, случайный вектор имеет ковариационную матрицу которая является диагональной [34]. В рамках принятого допущения это эквивалентно статистической независимости компонентов вектора У, откуда следует, что

Поскольку где — элемент матрицы А, то

где — определитель матрицы А.

Сравнивая полученное выражение с описанными в п. 4.2.1, можно согласиться, что рассмотренный метод получения совместных распределений предпочтительней. В отличие от рассмотренных в п. 4.2.1 моделей он позволяет полнее использовать экспериментальные данные. Кроме того, размерность совместного распределения может быть произвольной, а компоненты вектора X можно выбирать, исходя из практических соображений.

Описанный метод позволяет построить распределения любых признаков РРЦ, если можно получить необходимые для этого экспериментальные данные. При его реализации возможны затруднения, если величина принимает отрицательные значения. В таких случаях можно воспользоваться двумя путями. Первый состоит в том, что при определении матрицы А вводится дополнительное ограничение для всех значений Однако этот путь не всегда может привести к решению. В частности, когда хотя бы для одного задача решения не имеет. Поэтому удобней ввести перенос вектора У, т. е. использовать преобразование вида где вектор . Величина определяется так, чтобы для класса вероятность того, что не превосходила константу т. е.

Константа обусловлена допустимой вероятностью отказа от распознавания. Должно быть Найдя вектор сдвига по правилу мы смещаем распределения всех классов на одинаковое расстояние в пространстве признаков, что не изменяет результатов РРЦ.

Совместную плотность распределения признаков можно выразить иначе:

Таким образом, для нахождения совместного распределения признаков необходимо знать ковариационную матрицу признаков V и плотности распределений которые можно оценить экспериментально. Матрицу А можно рассчитать, если известна матрица легко находятся после того, как определены

Недостаток предлагаемого метода состоит в том, что он также позволяет учесть только парную корреляцию между признаками. Однако это окупается простотой получаемых выражений, а также возможностью использовать экспериментальные данные. Недостаток метода можно устранить, если перейти к нелинейному преобразованию. Преобразование следует производить так, чтобы смешанные моменты переменных первого и заданного числа высших порядков равнялись нулю. Эту задачу можно решить численными методами с помощью ЭВМ. Однако при этом формульные представления совместных законов распределений признаков усложняются.

Распределения дифференциальных признаков. Допустим, что РЛС производит полный поляризационный прием. Полагая поляризационную матрицу рассеяния представляем так

где для удобства индексы заменены цифрами и обозначено Величина с точностью до постоянного множителя равна ЭПР радиолокационной цели. Совпадающие индексы соответствуют приему на совпадающих поляризациях, несовпадающие индексы — ортогональному приему.

На основании теоремы взаимности . Таким образом, при полном поляризационном приеме имеем пять элементов, в которых сосредоточена вся информация о цели: три амплитудных и два фазовых .

Принцип декорреляции позволяет записать совместную плотность распределения параметров сигналов, если известны ковариационная матрица V этих параметров и плотности распределения

их линейных комбинаций Матрица V и плотности могут быть определены для каждого класса целей методами натурного либо масштабного моделирования. Исследования в области РРЦ летательных аппаратов показали, что фазовые элементы матрицы рассеяния не всегда информативны. Поэтому для упрощения последующих записей под будем понимать только амплитудные элементы матрицы , исключив двойную индексацию.

В свою очередь, амплитудные элементы матрицу рассеяния хорошо описываются гамма-распределениями, что подтвердило адекватность модели М. Накагами [40]. Как и следовало ожидать, параметры при одночастотном сигнале коррелированы, причем, корреляционные связи для радиолокационных целей разных классов различны [40, 41, 46]. При многочастотном сигнале корреляционные связи зависят от разноса частот. Характер такой зависимости определяется типом объекта. В ходе исследований была проверена гипотеза о том, что распределения линейных комбинаций элементов матрицы рассеяния являются гамма-распределениями. Проверка показала, что эта гипотеза справедлива. Любопытно отметить, что ее достоверность относительно распределений линейных комбинаций оказалась выше достоверности этой же гипотезы относительно распределений самих элементов матрицы рассеяния. Гистограммы линейных комбинаций как правило, оказывались более простыми, чем гистограммы По-видимому, это объясняется тем, что декорреляция уменьшает влияние на закон распределения характеристик других линейных комбинаций

Сказанное позволяет представить совместную плотность распределения амплитудных элементов матрицы рассеяния следующим образом:

где — оценки параметров гамма-распределения случайных величин — гамма-функция.

Понятно, что для радиолокационных целей различных классов параметры распределения будут различаться.

Преобразование взаимно однозначное. Поэтому для упрощения записей воспользуемся вместо плотностью распределения

Если известны плотности то можно определить совместные плотности распределений различных признаков РРЦ.

Рассмотрим признаки вида для которых нормировка автоматически исключает паразитную модуляцию диаграммой направленности антенны и влияние дальности цели на параметры закона распределения признаков. Признаки в рамках принятой модели распределены по обобщенному закону Дирихле

Справедливость данного утверждения проверяется непосредственно. Чтобы исключить громоздкие преобразования, ограничимся двумя признаками. Покажем, что если — независимые случайные величины, имеющие гамма-распределение

то случайная величина имеет обобщенное бета-распределение с плотностью

Вероятность попадания двумерной случайной величины в элемент равна

Обозначим Вероятность попадания двумерной случайной величины в элемент равна

Интегрирование последнего выражения по показывает, что имеет обобщенное бета-распределение. Аналогичное, но более громоздкое доказательство можно провести для любого числа признаков. Это приводит к многомерному аналогу обобщенного бета-распределения — обобщенному распределению Дирихле.

Если параметры распределения Дирихле постоянны, т. е. то

Переход к непосредственно измеряемым в процессе РРЦ элементам матрицы рассеяния очевиден.

В заключение отметим, что описанный подход позволяет оценить совместные плотности распределения и для других признаков, в том числе и интегральных. Понятно, что с усложнением функциональных соотношений между признаками РРЦ и параметрами сигнала выражения, получаемые для совместных плотностей распределения признаков, будут усложняться.