3.3. ГАРАНТИРУЮЩАЯ СТРАТЕГИЯ

Применить стратегию Байеса можно только в том случае, если известны функции априорные вероятности

М, а также матрица потерь (3.13). Однако на практике при построении систем распознавания возможны такие ситуации, когда известны только функции плотности и матрица потерь.

В подобных ситуациях для построения алгоритмов распознавания теория статистических решений рекомендует пользоваться

минимаксной стратегией, гарантирующей вполне определенное значение среднего риска. Рассматриваемая стратегия состоит в следующем. Хотя значения априорных вероятностей неизвестны, тем не менее оказывается целесообразным ориентироваться на такое значение априорной вероятности, при которой байесовский риск максимален. Именно такое решение обеспечивает минимизацию среднего риска на уровне максимального байесовского риска, что и предопределило наименование «минимаксная стратегия». Заметим, что эта стратегия относится к классу байесовских и покажем ее преимущества по сравнению с другими в условиях, когда неизвестны .

При наличии классов средний риск, определяемый (3.6) с учетом того, что равен

Построим график функции во внимание, при (рис. 3.3).

Пусть достигает своего наибольшего значения при т. е. представляет собой максимальное значение минимального байесовского риска (обозначим его ). Применение минимаксного критерия означает, что при отсутствии данных об априорных вероятностях появления объектов следует ориентироваться на (рис. 3.3). При этом средние потери определяются касательной к кривой в точке, соответствующей

где — ошибки первого и второго рода при априорной вероятности

Так как при средние потери достигают максимума, то касательная, определяемая (3.27), параллельна оси абсцисс и, значит, средние потери неизменны в условиях, когда действительное значение отличается от выбранного

Применение минимаксной стратегии обеспечивает то, что при средние потери не будут превышать максимального значения минимальных средних (байесовских) потерь.

Рассмотрим, к каким результатам приводит выбор значения отличного от Положим, что выбрано значение . В этом

Рис. 3.3

случае средние потери описываются уравнением касательной к кривой в точке, соответствующей :

где — ошибки первого и второго рода при априорной вероятности

Так как байесовская стратегия обеспечивает минимальный риск, то кривая, определяемая (3.26), лежит ниже прямой для всех значений

Рассматриваемая стратегия приводит к следующему. Предположим, что априорная вероятность равна Тогда если априорная вероятность на интервале отлична от то средний риск будет меньше, чем при минимаксной стратегии. Но если то потери возрастают, достигая чрезмерных значений. Выбор минимаксной стратегии предохраняет от подобных потерь.

Для определения алгоритма принятия решения, соответствующего минимаксной стратегии, продифференцируем (3.26) по и приравняем производную нулю. В результате получим

Это соотношение, представляющее собой равенство условных значений средних рисков при ошибках первого и второго рода, позволяет определить и построить следующий алгоритм классификации: если измеренное значение признака объекта равно то если если

При минимаксной стратегии, когда пороговое значение коэффициента правдоподобия

При этом алгоритм классификации можно записать так: если если

Если то, как следует из (3.29), минимаксная стратегия приводит к равенству условных вероятностей ошибок первого и второго рода.

В заключение заметим, что минимаксная стратегия — это стратегия Байеса для наихудших значений априорных вероятностей, обеспечивающая хотя и осторожное, но гарантированное значение среднего риска.