6.3. ОБОБЩЕННОЕ ГОЛОСОВАНИЕ

Пусть Т измерительных каналов производят обработку пересекающихся или непересекающихся множеств признаков в результате чего каждый из них формирует частное решение . Здесь — номер одного из вспомогательных классов к которым в может быть отнесен объект, число номеров классов в канале.

В устройстве принятия общих решений величины суммиру ются с весами, зависящими от вероятностей отнесения объекта класса к классу . Если общие решения используются несколькими потребителями информации распознавания, то один и тот же объект в принципе может быть отнесен одновременно к различным классам, причем каждому потребителю будет выдан «свой» вариант общего решения. Особенно часто это будет происходить, когда алфавиты классов распознаваемых в интересах каждого потребителя, не совпадают частично или полностью.

Примером может служить ситуация, когда результаты РРЦ используются для коррекции параметров систем автоматического регулирования и для определения необходимости приоритетного обслуживания цели. В первом случае номер класса объекта устанавливается для указания характеристик его сигналов: класс - объект с узким спектром сигналов, класс - объект с широким спектром сигналов. Во втором случае номера классов могут быть такими: класс объект должен обслуживаться в первую очередь, класс — объект обслуживается в общем порядке.

В дальнейшем, если не оговорено противное, ограничимся допущением, что алфавиты классов фиксированы и совпадают как для каждого канала, так и для системы распознавания в целом. Полученные результаты легко распространить и на произвольные алфавиты

Выражения для расчета весовых коэффициентов выведем, рассмотрев следующий простой пример. Предположим, что три измерительных канала производят распознавание радиолокационной

Таблица 6.4 (см. скан)

цели, принадлежащей к одному из пяти классов Допустим, что решения каналов распределились так, как показано в табл. 6.4.

Поскольку частные решения принимают случайные значения, должны существовать законы распределения их вероятностей Предполагая величины независимыми, можно зависать

где — вероятность того, что в объект класса будет правильно отнесен к этому же классу.

Аналогично

В общем виде

где первое произведение берется по всем номерам каналов , которые правильно отнесли объект к классу, а третье — по номерам тех каналов, которые приняли решение В пользу одного из классов

С учетом выражения эту зависимость можно упростить:

В соответствии с правилом идеального наблюдателя общее решение надо принимать в пользу того класса, которому соответствует

Допустим теперь, что первые принимают частные решения в соответствии с алфавитами которые шире (уже)

алфавита , а остальные рассчитывают функции или просто измеряют признаки . В этом случае решающее правило можно записать в виде

Апостериорные вероятности классов можно рассчитывать по формуле

где а — основание логарифма в (6.6).

Если все каналы однотипны и характеризуются одинаковыми вероятностями решений и то зависимости (6.5) и (6.6) примут вид

Анализ этих выражений показывает, что при равноценных каналах или при накоплении независимых отсчетов признака следует подсчитать число решений или в пользу каждого класса или Объект относят к тому классу которому соответствует наибольшая взвешенная сумма голосов

Легко показать, что синтезированное правило при числе классов и равноценных каналах совпадает с хорошо известным в теории обнаружения сигналов критерием из . В этом случае объект надо относить к классу если число голосов в пользу первого класса и к классу в противном случае. Пороговое число голосов в пользу первого класса

где С — порог для отношения правдоподобия, определяемый выбранным критерием принятия решений. Для правила идеального наблюдателя

Проведем бинарное квантование по независимых отсчетов признаков в разных Обозначив через число попаданий в первый интервал, с учетом (6.6) можно записать

где .

Если то, положив получим правило

При равноценных и оно совпадает с алгоритмом из . Простота подсчета числа «голосов» и сравнения его с заранее рассчитанным порогом то обусловила его широкое распространение.

Решающая статистика имеет биномиальное распределение

При числе классов и равноценных каналах решающими статистиками могут служить числа голосов тк в пользу каждого из классов При этом число голосов в пользу последнего, М-го класса, . Соответствующие законы являются полиномиальными

где .

Если в системе используется различных видов измерительных каналов, то следует анализировать в раз большее число статистик где — число частных решений в пользу класса принятых в каналах вида, Так, при и числе классов решающее правило имеет вид

где — соответственно вероятности правильных решений в каналах I и II вида; — число одинаковых каналов вида,

Такое решающее правило эквивалентно построению разделяющей линии на плоскости (рис. 6.5), где

Вероятности ошибок системы каналов равны вероятностям расположения точек сверху или снизу от разделяющей прямой

Рис. 6.5.

Аналогично рассчитывают вероятности ошибок и при произвольном числе групп равноценных каналов. В этом случае разделяющими поверхностями служат гиперплоскости в пространстве статистик

По сходной методике можно найти вероятности общих решений при числе альтернатив Покажем это, положив все каналы идентичными и приняв для всех

Положим Тогда решающими статистиками можно считать числа голосов т. е. в пользу класса в пользу класса . Соответствующие законы распределения имеют вид

Найдем разделяющие границы, попарно приравняв функции умноженные на некоторые априорно заданные коэффициенты Это приводит к следующим правилам

Рассмотрим для определенности задачу распознавания трех равновероятных классов радиолокационных целей по критерию идеального наблюдателя. Для каждого объекта будем производить три независимых отсчета его экспоненциально распределенной (рис. 6.6).

Выберем пороги принятия частных решений в точках равенства функций Это приведет к зависимостям

Рис. 6.6

Рис. 6.7

Соответствующие вероятности ошибок равны

Положим, . Тогда , а матрица вероятностей решений имеет вид

Средняя вероятность ошибки по одному отсчету признака . Из рис. 6.7 видно, что пары значений попадают в область отнесения объектов к III классу; классу соответствуют точки (2,0); (1,2); и (0,3); классу и (2,1). Вероятности общих решений

Аналогично рассчитывают и остальные вероятности решений:

Средняя вероятность ошибки общих решений приблизительно на 13,5% меньше средней вероятности ошибки в отдельных каналах (по одиночным отсчетам признаков).

Если в условиях рассмотренного примера применить правило простого голосования, посчитав веса веек решений одинаковыми, то области принятия решений изменятся (рис. 6.8).

Решениям в пользу класса соответствуют точки (2,0); (3,0) и (2.1), в пользу класса — точки (0,2); (0,3) и (1,2); в пользу класса — точки (0,0); (0,1) и (1,0). Точка (1,1) соответствует неопределенному решению. Будем считать, что решения в этом случае распределяются поровну между классами, В этих условиях при простом голосовании получим Соответствующая средняя вероятность ошибки находится «посредине» между вероятностями ошибок отдельного канала и правила взвешенного голосования.

В условиях рассмотренного примера проявилась одна особенность. Простое голосование значительно снизило вероятность правильного распознавания объектов второго класса, характеризовавшихся низкой достоверностью частных решений. При взвешенном голосовании этого не произошло. Напротив, оно «подтянуло» вероятность правильного распознавания за счет некоторого снижения достоверности общих решений по объектам класса Таким образом, можно считать, что применение правила взвешенного голосования позволит в какой-то степени снизить потери, связанные с частыми ошибками распознавания объектов маловероятных классов, характерными для правила идеального наблюдателя.

В [59] рассматриваются алгоритмы обнаружения целей «со сбросом», идея которых заключается в том, чтобы прекратить накопление частных решений когда их сумма достигнет уровня или заведомо не сможет его достичь. Очевидно, что аналогичный подход позволит снизить затраты времени на принятие решений и в условиях, когда число альтернатив М больше двух. Так, в условиях примера, проиллюстрированного рис. 6.7, можно прекратить опрос и вынести общее решение в пользу класса , когда число голосов достигнет двух.

Применение критерия из обеспечивает среднюю вероятность ошибки общих решений [52,]

Вероятности и , зависят от порогов принятия решений в измерительных каналах. Следовательно, и вероятность тоже будет являться функцией Если в пороги выбирать

Рис. 6.8

так, чтобы минимизировать среднюю вероятность ошибки частных решений то нет никаких оснований считать, что при этом достигнет минимума и вероятность ошибки общих решений (6.11). Следовательно, настройка измерительных каналов, оптимальная при их автономной работе, не является таковой при их функционировании в составе общей системы.

Значение порога минимизирующего вероятность ошибки общих решений, можно найти и» уравнения Для правила простого голосования и из (6.11) следует уравнение для вычисления оптимального порога

Можно показать, что для правила то из Т аналогичное уравнение имеет вид

где .

Значительно проще уравнение для асимптотически оптимального порога где — верхняя граница для . Применяя границу Бхаттачарии [24] к биномиальным законам получаем

Дифференцирование этой зависимости дает

Поскольку вероятности и сближаются с увеличением: Т, неизвестную определяемую из последнего равенства, можно считать асимптотической оценкой оптимального порога.

Для иллюстрации эффекта, достигаемого оптимальным подбором порога рассчитаем вероятности ошибок распознавания в предположении, что для классификации каждой цели используются отсчеты ее экспоненциально распределенной Для минимизации вероятности ошибки одного следует выбирать порог 0,549. Асимптотически оптимальный порог для правила взвешенного голосования Ему соответствуют вероятности и . Оптимальный

Таблица 6.5 (см. скан)

порог для простого голосования зависит от числа каналов Т (см. второй столбец табл. 6.4). С ростом Т он изменяется так, что вероятности ошибок одного и сближаются. Например, при при

В табл. 6.5 приводятся значения вероятностей ошибок для неизменного (в знаменателе) и асимптотически оптимального порогов (в числителе).

При установке строго оптимального порога значения для соответственно равны 0,197; 0,154; 0,112 и 0,067 и практически совпадают с вероятностями ошибок, определяемыми асимптотическим порогом, уже при . Если число велико, хорошие результаты обеспечивает и легко реализуемое правило простого голосования при условии, что частные решения принимаются с учетом оптимизированного порога.

Во многих задачах оптимальное распределение вероятностей ошибок удается задать, принимая частные решения по правилу

— вспомогательные коэффициенты, подбираемые экспериментально.

Один из наиболее эффективных способов повышения достоверности голосования состоит в изменении алфавита частных решений . В качестве примера рассмотрим ситуацию, когда распознаются радиолокационные цели двух классов по Т независимым отсчетам признаков, имеющих гауссовские распределения Разобьем множество признаков на три области сопоставив их соответственно трем классам частных решений . Если установить

пороги симметрично относительно точки равенства функций то можно записать

В этом случае отношение правдоподобия равно

где — число частных решений в пользу класса .

Решающее правило приобретает вид

где С — пороговое значение для функции правдоподобия,

Будем считать, что в случае, когда все Т частных решений выносятся в пользу класса общие решения распределяются поровну между классами При таком допущении вероятности ошибок

Если выбрать пороги так, чтобы вероятности X были пренебрежимо малыми, то справедливым будет приближенное равенство

В условиях примера, рассмотренного в § 6.1, вероятность составляла 2/3, а вероятности X были равны нулю. Это обеспечило снижение уровня средней вероятности ошибки по двум отсчетам до

Рассмотренный подход позволяет исключить (при ) или выделить в отдельную малозначащую группу те (отсчеты), решения которых отличаются низкой достоверностью. Известно [28], что такая процедура позволяет снизить вероятности ошибок общих решений, несмотря на уменьшение числа голосующих каналов.

Рассмотренные правила голосования можно реализовать и тогда, когда весовые коэффициенты зависят от текущих значений признаков Если решению каждого канала

ставить меры его достоверности, аналогичные вероятностям то исследованные алгоритмы без изменений можно применить для принятия общих решений.

Простейшим аналогом вероятностей служат апостериорные вероятности гипотез. Например, если измеренный признак породил вероятности гипотез то частному решению в пользу класса соответствуют вероятности При решении в пользу класса получим . Реализация такого подхода приведет к алгоритму, сходному с правилом оптимального голосования.

Упростить схемную реализацию взвешенного голосования можно при установке порогов в каждом так, чтобы вероятности перепутывания были точно или приблизительно между собой Такое допущение удобно и тогда, когда заданы только вероятности правильного распознавания . Преобразование зависимости (6.5) приводит к алгоритму