2.3. КАЛИБРОВКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПО РЕАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Эффективность процессов моделирования определяется тем, насколько модель адекватно имитирует процессы, происходящие

Рис. 2.3

в реальной оистеме. Обеспечение требуемой адекватности достигается за счет калибровки математической модели по реальной информации.

Не будем во всех деталях обсуждать задачу калибровки моделей, поскольку она достаточно подробно рассмотрена, например, в [8], а уделим внимание лишь тем ее аспектам, которые носят, на наш взгляд, принципиальный характер. Прежде всего обратим внимание на следующий вопрос. Когда возникает необходимость построить математическую модель вновь разрабатываемой системы, в данном случае локационной, предназначенной для решения задач селекции и распознавания, возможности для ее калибровки по реальной информации до построения физических моделей системы нет. Чтобы свести к минимуму ошибки при разработке математической модели, ее необходимо в максимально возможной мере подвергать декомпозиции, т. е. строить по блочному принципу, стремясь к тому, чтобы каждый блок был как можно «мельче», т. е. чтобы алгоритм работы каждого блока модели обеспечивал выполнение минимального числа операций.

Блочный подход к построению моделей позволяет, не разрушая модели в целом, при необходимости заменять или корректировать структуру или алгоритмы отдельных блоков, производить поблочную калибровку модели и только затем калибровку модели в целом. Это обеспечивает значительный выигрыш во времени на реализацию процедур калибровки.

Следующий аспект задачи калибровки математических моделей состоит в исследовании целесообразности использовать те или другие методы адаптации. В качестве одного из подобных методов, достаточно разработанных и широко апробированных на практике, рассмотрим метод стохастической аппроксимации [13], суть которого состоит в следующем. Пусть на вход моделируемого блока подается сигнал на выходе образуется сигнал (рис. 2.3).

где — некоторый оператор объекта; — стационарные случайные процессы. Для линейных систем

где — импульсная характеристика объекта.

Для нелинейных систем можно описать с помощью ряда Вольтерра. Уравнение модели (блока модели) запишем в виде

Чтобы модель была обучаемой, необходимо в ее уравнение ввести неизвестный вектор параметров для того, чтобы путем варьирования его компонент добиваться адекватности модели моделируемому объекту. С учетом вектора с

Рассогласование между выходами реального объекта и его модели при подаче на вход одного и того же сигнала

Построим функционал рассогласования

где М — символ математического ожидания; функция.

Задача калибровки модели состоит в том, чтобы найти такой вектор который обеспечивает минимум функционала рассогласования, т. е.

При решении рассматриваемой оптимизационной задачи следует учитывать ограничения на сложность математической модели и время на процесс моделирования; на возможность программной реализации; на область допустимых изменений параметра с. Условие минимума функционала может быть записано так:

Будем полагать, что оператор модели может быть представлен в виде линейной комбинации простейших операторов

где Т — знак транспонирования. Тогда

Здесь

Задача, как уже указывалось, состоит в нахождении с. Если выпуклый и имеет один экстремум, то корень уравнения определяет искомое значение вектора Но если из-за недостатка априорной информации полностью определить с нельзя, приходится прибегать к обучению.

Оно должно быть построено так, чтобы по реализациям наблюдаемого процесса измеряемому градиенту случайного функционала определить с течением времени Для этого необходимо реализовать итеративную процедуру на основе алгоритма обучения вида

либо

Первый из них является дискретным алгоритмам обучения, второй — непрерывным. В уравнениях (2.14) и (2.15) — элементы диагональной матрицы или тогда, когда все элементы матрицы равны друг другу. Именно надлежащий выбор значений у и должен обеспечить сходимость или оптимальному значению с.

На рис. 2.3 представлена структурная схема процедуры обучения (калибровки) модели. Смысл обучения модели состоит в том, чтобы соответствующим образом обработанной апостериорной информацией, образуемой в результате лабораторных или натурных исследований, компенсировать дефицит исходной априорной информации.

При калибровке модели или ее блока недостаточно одноразового полного совпадения выходов модели и моделируемого объекта при подаче на вход одного и того же сигнала когда

или почти полного совпадения, когда

где — заданное допустимое рассогласование.

Необходимо, чтобы усредненное по множеству реализаций рассогласование было меньше или равно во Для этого в схеме обучения модели должно быть предусмотрено решающее правило (алгоритм), которое на основании учета требований к точности искомых оценок показателей эффективности процесса обучения модели должно определять условия, при которых модель можно считать адекватной исследуемой системе. При этом адекватность должна соблюдаться во всем диапазоне возможных режимов

работы реального объекта. Если из общего множества реализаций процессов взять достаточно представительные выборки на выходе реального объекта , где число возможных режимов работы объекта и модели, где — число моделируемых ситуаций, и расстояние <между выборками обозначить через то решающее правило, иначе алгоритм сравнения выборок, можно построить на основе методов теории статистических решений. Обозначим решающее правило где равно 1 или 0 в зависимости от того, адекватна модель реальному объекту или нет.

Тогда, если

где — величина, характеризующая допустимое расстояние между выборками — заданная точность расчета на модели оценки эффективности процесса обучения, то Если то Это означает, что математическая модель реального объекта либо ему неадекватна, и ее следует усовершенствовать, либо неравенство возникло в результате ограниченности статистики, и испытания модели следует продолжить.

Заметим, что построение математических моделей вновь создаваемых систем представляет собой сложный итерационный процесс. На первом этапе разрабатывается общая структурная схема системы, затем она детализируется, что обеспечивает возможность декомпозиции общей модели системы. Наличие все более и более мелких блоков модели увеличивает вероятность того, что им будут соответствовать аналоги-блоки, разработанные при проектировании ранее созданных систем и, значит, аналоги-модели этих блоков, прокалиброванные в свое время по реальной информации. Если во вновь разрабатываемой системе содержатся принципиально новые блоки, аналоги которых отсутствуют, то математические модели этих блоков необходимо и возможно калибровать только после их конструирования и изготовления.

На последующих этапах осуществляются калибровка и уточнение математических моделей подсистем (агрегатов) разрабатываемой системы по реальной информации, естественно, после воплощения их в «металле». И наконец, на последнем этапе отрабатывается математическая модель системы в целом. Ее наличие позволяет в той или иной мере сократить объем натурных испытаний системы за счет математических экспериментов на модели и тем самым уменьшить затраты ресурсов материальных, энергетических, трудовых и временных на отработку системы и ввод ее в эксплуатацию.