8.3. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕЛЕКЦИИ В БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ СЛУЧАЯХ

Если число истинных целей в группе (целей в зоне обзора) равно , а дисперсия распределений равны соответственно, то вероятность правильной селекции можно рассчитать как вероятность того, что наименьший из функционалов с плотностью распределения окажется больше любого из функционалов с плотностью распределения . В соответствии с предложенной методологией

Нетрудно рассчитать вероятность и тогда, когда решение принимается на основе совместного использования информации, содержащейся в К признаках. Решения принимаются в соответствии с правилом (8.33), а параметры распределений определяются по формулам Подставляя значение этих параметров в (8.56), получаем:

Вероятности, рассчитанные по формулам (8.56) и (8.57), являются наиболее важными показателями эффективности селекции, однако исчерпывающей ее характеристикой в рассмотренных случаях являются распределения числа истинных целей в выбранной группе. Обозначим через вероятность того, что в группе из объектов, в которой имеется ровно истинных целей,

будет правильно отселектировано ровно объектов, через — вероятность того, что в этой группе будет правильно отселектировано не менее , (т. е. и более) объектов Тогда

Отсюда

где -плотность распределения порядковой статистики ранга в выборе объема из генеральной совокупности с распределением

В дополнение к ранее введенным обозначениям примем, что

и

Распределение (8.59) полностью характеризует эффективность решающего правила (7.38).

Рассмотрим методологию оценки эффективности процедуры кластер — анализа при условии, что распределения гауссовские, причем однако последнее наблюдателю априори неизвестно. В этом случае в соответствии с решающим правилом (7.28) правильное решение будет принято при условии, что

или

Напомним, что выборка ранжированная. Если гипотеза

верна, то в сумму входят все элементов выборки из распределения и упорядоченность выборки при определении статистических свойств этой суммы значения не имеет.

Используя разработанную ранее методологию, вычисляем статистические параметры величины у.

где

Считая распределение приблизительно гауссовским с параметрами (8.63) и (8.64), для вероятности правильной селекции имеем

Поскольку оба случая предполагаются симметричными и равновероятными, за оценку вероятности правильной селекции в общем случае можно принять выражение (8.65), если под понимать абсолютное значение этой величины. Из (8.65) следует, что эффективность процедуры кластер-анализа хотя и уступает эффективности селекции тогда, когда соотношение между параметрами распределений известно или но не столь значительно, как этого можно было ожидать. Это подтверждается результатами расчетов приведенными в табл. 8.5.

Рассмотрим далее методологию оценки эффективности при использовании решающих правил смешанного порядково-порогового типа. В общем случае полная оценка эффективности оказывается не столько сложной, сколько громоздкой. Поэтому ограничимся оценкой эффективности селекции применительно к рассмотренному в § 7.3 примеру, поскольку он сохраняет основные черты общего случая.

Таблица 8.5 (см. скан)

Таблица 8.6 (см. скан)

Полная система возможных событий (исходов) на выходе алгоритма селекции приведена в табл. 8.6.

В качестве показателей эффективности системы селекции целесообразно принять вероятности (условные) соответствующих исходов. Приведем формулы, по которым можно провести расчет этих вероятностей.

Событие I происходит при выполнении одного из двух несовместных условий:

если случайная величина с распределением меньше порогового уровня , то все случайных величин с распределением должны быть меньше этого значения х;

если случайная величина с распределением больше порога , то все случайных величин с распределением должны быть меньше этого порога. Отсюда вероятность события I

где — интегральная функция распределения наибольшей порядковой статистики; .

При вычислении вероятности события II рассмотрим также два случая:

наибольшая порядковая статистика в выборке объема из распределения меньше порога я; в этом случае она должна

быть больше того значения которое приняла случайная величина с распределением ровно одна случайная величина в выборке объема оказалась выше порога , и в этом случае все остальные случайные величины, включая и случайную величину с распределением должны быть меньше порога . Отсюда вероятность

Событие III реализуется в следующих двух случаях: случайная величина с распределением больше наибольшей порядковой статистики в выборке объема из распределения и тогда последняя должна быть больше порога ;

ровно одна из случайных величин в выборке объема из распределения больше значения которое приняла случайная величина с распределением и тогда последняя должна быть больше порога Вероятность события III

Наконец, (-вероятность того, что хотя бы две из случайных величин с распределением больше случайной величины с распределением причем если то хотя бы две из первых должны быть больше этого порога, а если то они должна быть больше этого значения я:

События I—IV образуют полную группу несовместных событий, так что

В этом можно убедиться, суммируя выражения

Полная оценка эффективности селекции в случае применения смешанных порядково-пороговых правил является довольно громоздкой. Поэтому в группе событий, когда на входе системы имеется ровно две истинные цели, ограничимся вычислением вероятности события VII, т. е. вероятности правильной селекции обеих истинных целей. Вероятность этого события есть вероятность того, что наименьшая из двух случайных величин с распределением окажется больше наибольшей порядковой статистики в выборке объема из распределения и будет больше порогового уровня :

Полная вероятность правильной селекции

Для определения оптимального значения порога продифференцируем (8.71) по этому параметру:

Приравнивая нулю, находим уравнение, из которого можно определить оптимальное значение порога обеспечивающее в среднем максимум полной вероятности правильной селекции:

Если и - гауссовские распределения с параметрами то решение уравнения (8.73) имеет вид

или

поскольку

При классификации оптимальное значение порога яопт, обеспечивающее в среднем максимум полной вероятности правильной классификации отдельно взятого объекта, определяется из условия

где — априорные вероятности того, что распознаваемый объект относится к первому или нулевому классу соответственно.

Сопоставление выражений (8.47) и (8.75) показывает, что при выборе порога в соответствии с правилом (8.74) учитывается общее число наблюдаемых целей возможное число истинных целей в группе (1 или 2), а также априорные вероятности этих событий.

Вероятности можно выразить через вероятность Поскольку среднее число объектов первого класса в группе из объектов

а среднее число объектов фонового класса

то

и

Если то порядково-пороговое правило превращается в чисто порядковое и за истинную принимается цель, для которой функционал наибольший, а

Аналогично, если то - порядково-пороговое также превращается в чисто порядковое, за истинные принима-. ются те две цели, для которых функционал наибольший, а

Что касается порогового правила распознавания, то при

а при

В первом случае вероятность правильного решения

а во втором случае

Для условий данного примера рассмотрим полностью симметричную ситуацию, когда . В этом случае предполагается априори известным, что одна из целей в группе из трех объектов является истинной, одна — ложной, а одна с вероятностью 1/2 может быть как истинной, так и ложной. В этом случае и

Без ограничения общности можно принять так что . Этого всегда можно добиться выбором начала отсчета значений признака

При этом вероятность правильного решения при использовании чисто порогового правила

а при использовании смешанного порядково-порогового правила

или в силу симметрии

Функция монотонно возрастает на интервале а ее наименьшее значение на этом интервале равно поэтому

и

Последнее свидетельствует о преимуществе смешанного поряд-ково-порогового правила по сравнению с чисто пороговым. Объясняется это тем, что в первом случае из рассмотрения исключаются как заведомо невозможные такие решения, когда ни одна из целей не принимается в качестве истинной либо все три цели считаются истинными. Во втором случае любой из исходов считается возможным.

Если обобщенное значение отношения сигнал-шум стремится к бесконечности, то как так и яопт (8.75) стремится к При этом оба правила превращаются, по существу, в правило детерминированного типа. Когда то

. В соответствии с этим в первом случае и во втором.

Что касается порогового правила, то при . При возможны оба варианта. В первом случае все цели следует считать ложными, во втором — истинными. При использовании порядково-порогового правила у наблюдателя остается, по крайней мере, возможность правильно угадать истинную цель или цели в соответствии с той априорной информацией, которой он располагает.

Важная особенность предлагаемой здесь методологии оценки эффективности селекции состоит в том, что она характеризует эффективность селекции единственным показателем. Это позволяет сформулировать и решить целый ряд проектных задач, что невозможно в рамках традиционной концепции распознавания.