6.7. ОДНОШАГОВЫЕ АДАПТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ГРУПП ОБЪЕКТОВ

6.7.1. ОЦЕНКА СОСТАВА ГРУПП И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Допустим, что в условиях у наблюдается группа вида, включающая объектов каждый из которых характеризуется признаком . В составе группы представлены по объектов каждого класса

Усредненные по всем объектам класса распределения признаков для группы вида описываются функциями

где — число радиолокационных целей вида — их распределения вероятностей для условий у, в которых наблюдаются объекты.

Стоимости отнесения объектов класса к для группы. составят

где — стоимость отнесения к классу объекта вида

Вероятность того, что произвольно выбранный объект группы относится к классу

Знание числа объектов каждого вида или хотя бы класса может заметно повысить эффективность распознавания радиолокационных целей группы. Покажем это на примере.

Предположим, что в конкретной группе имеется объектов вида объектов того же класса но вида объектов второго класса вида Соответствующие стоимости ошибочного распознавания обозначим

Стоимости правильного распознавания примем равными нулю. С учетом принятых допущений можно записать

где .

Средние стоимости ошибок для всех групп вида будут равны Таким образом, для минимизации среднего риска распознавания объектов такой группы принятие решений следует производить по правилу

или

При объекты следует относить к первому классу, в противном случае — ко второму.

Последнее неравенство позволяет сделать вывод о том, что алгоритмы распознавания объектов в группах могут (и должны) заметно отличаться от алгоритмов распознавания одиночных радиолокационных целей. При этом выигрыш в достоверности распознавания может быть достигнут различными путями. Наиболее простой из них состоит в замене функций и соответственно функциями или их достаточно точными оценками.

Распределения и вероятности будем называть условными для групп вида. В последнем случае процедура распознавания становится двухэтапной. Сначала измеряются признаки всех объектов группы. В результате их предапостериорного анализа оцениваются функции и вероятности Найденные оценки используются для принятия решений по каждому из объектов группы. Повторное измерение их признаков может и не производиться. Ввиду того что для каждой новой группы объектов порога принятия решений оцениваются повторно, описанная процедура получила название адаптивной [28].

Рассмотрим некоторые способы отыскания оценок величин

Для этого предположим, что группы отличаются друг от друга соотношением в них числа объектов каждого класса . Распределения признаков в таких группах будем считать стационарными, полагая для всех номеров

Выигрыш в достоверности распознавания объектов, входящих в такие группы, можно обеспечить, априорные вероятности классов вероятностями справедливыми для всего множества групп вида. Для определенности дальнейший анализ

будем производить применительно к критерию идеального наблюдателя.

Для большинства законов формирования групп объектов вероятности не зависят от размера группы Тем не менее можно представить себе такие ситуации, когда соотношение числа объектов разных классов в группах будет существенно колебаться при изменении их размера:

Это явление будет иметь место при зависимом предъявлении объектов. Тогда даже такая легко доступная информация, как число отметок на индикаторе РЛС, может быть использована для уточнения решений.

Вероятности классов группы и генеральной совокупности не будут совпадать, например, в такой ситуации, когда все М классов равновероятны: но объекты одного из классов, допустим класса появляются только по три. В этом случае число объектов в группе служит дополнительным признаком распознавания.

Всю совокупность групп размера разобьем на подмножества по принципу постоянства их состава или, что то же, распределений . В общем случае вероятности формирования групп различных составов не совпадают. При независимом предъявлении объектов вероятность того, что в предъявленной группе будет ровно объектов класса, определяется полиномиальным законом

Как правило, для распознаваемых групп, характеризуемых составом число объектов каждого класса заранее определить невозможно. Поэтому на практике возникают две альтернативы:

вместо величин использовать их математические ожидания Если вероятность класса , рассчитанная на множестве групп размера совпадает с априорной вероятностью t-го класса, то такой подход эквивалентен применению алгоритмов распознавания одиночных объектов;

вместо величин или использовать их оценки полученные каким-либо способом. Соответствующее правило имеет вид.

Если средние значения величин найденные на множестве групп размера равны то эту вероятность можно рассматривать как оценку величины в каждом конкретном случае распознавания группы вида. При этом математическое ожидание ошибки равно нулю:

где вероятность того, что в группе из объектов будет ровно объектов класса.

Очевидно, что если в каждом конкретном случае распознавания групп состава нам удастся отыскать оценки более точные, чем величины то замена априорных вероятностей оценки позволит повысить достоверность распознавания объектов труппы.

Адаптивное решающее правило реализуется устройством, структурная схема которого приведена на рис. 6.11. Признаки каждого из объектов наблюдаемой группы измеряются радиолокационным приемником и накапливаются в буферном запоминающем устройстве и в блоке оценки состава группы После измерения признаков всех объектов группы в рассчитываются оценки , которые поступают в блок принятия решений . В результате опроса в этом блоке последовательно распознается каждый объект группы по правилу

Способы оценки состава групп объектов можно разделить на две основные разновидности: непосредственные оценки вероятностей классов и оценки, основанные на расчете апостериорного распределения вероятностей величин При первом способе, простейшем, подсчитывается число объектов, отнесенных к каждому классу при их первичном распознавании обычным способом, т. е. по одному

Более точной является оценка, основанная на суммировании вероятностей гипотез вычисленных при первичном распознавании

Рис. 6.11

объектов с использованием априорных вероятностей или :

где — признак, характеризующий объект .

Можно показать, что при устремлении размера группы к бесконечности оценка вида (6.19) сходится к вероятности т. е. является асимптотически несмещенной [28]. Оценка (6.18) в общем случае таким свойством не обладает. Если мы произвольно зафиксируем состав группы то на множестве групп такого состава обе рассмотренные оценки окажутся смещенными, т. е. будут характеризоваться отличными от нуля погрешностями

Для группы, включающей объектов класса объектов класса математическое ожидание величины составит где первая сумма берется по всем номерам объектов первого класса, а выгорая — по номерам объектов класса Можно убедиться, . Устранить смещение легко, скорректировав оценку (6.18): , где — оценка вида (6.18). Аналогично формируется несмещенная модификация оценки вида (6.19): , где

— условные математические ожидания вероятности гипотезы .

При распознавании более двух классов радиолокационных целей следует составить систему линейных уравнений относительно оценок . Ее решения относительно величин приведут к выражениям для несмещенных скорректированных оценок. Так, если использовать оценки вида (6.18), то при

Аналогично находятся несмещенные оценки, основанные на суммировании вероятностей гипотез.

В общем случае в качестве оценок величин удобно выбирать функции вида где суммы некоторых статистик рассчитанных для каждого объекта группы.

Если потребовать, чтобы оценка была несмещенной, при получим где .

Таким образом, для отыскания несмещенных оценок состава группы подходят различные функции с Можно, например, положить Это приводит к легко реализуемому способу расчета оценок где — соответственно математические ожидания законов .

Очевидно, что такую оценку невозможно вычислить тогда, когда функции отличаются только моментами высших порядков, например дисперсиями . В этом случае можно использовать оценку вида

где .

Точность несмещенных оценок составов групп мало зависит от того, насколько правильно заданы априорные вероятности классов Это обеспечивает эффективное использование алгоритмов адаптации при неверно заданных или неизвестных вероятностях классов. Повышение точности обеспечивает методика многократного циклического пересчета вероятностей

Все рассмотренные оценки вероятностей классов, кроме оценок вида (6.19) и их модификаций, можно применить и тогда, когда функции заданы только ограниченным числом моментов либо известны лишь вероятности решения .

Еще одна разновидность способов расчета оценок описана в [28]. Они предполагают последовательное уменьшение размера распознаваемой группы путем поодиночного исключения из ее состава распознанных объектов. После рассмотрения первых объектов очередной объект должен в идеальном случае распознаваться с вероятностью где — число объектов класса, оставшихся в «укороченной» группе.

Описываемые алгоритмы предполагают пересчет оценок величин после распознавания каждого очередного объекта группы. При этом оказалось, что большое значение играет порядок их распознавания. Лучше всего рассматривать их в порядке возрастания максимальных по всем номерам вероятностей гипотез вычисленных при первичном распознавании.

Таблица 6.7 (см. скан)

Пусть, например, в из трех объектов вероятности гипотез найденные с вероятностями распределились так, как показано в табл. 6.7. Оценка вероятности первого класса, найденная по формуле (6.19), равна Первым должен распознаваться второй объект, так как он характеризуется наименьшей из максимальных по номерам вероятностью гипотезы Отноношение правдоподобия для этого объекта должно сравниваться с порогом . Для следующего объекта группы с номером порог должен определяться с учетом вероятностей . Другие модификации описанного правила рассматриваются в [28].

Оценки, основанные на вычислении апостериорных распределений вероятностей составов групп. Подход, основанный на использовании вероятностных моделей формирования групп радиолокационных целей, проиллюстрируем следующим примером. Пусть объекты двух классов появляются в зоне обзора РЛС независимо, а число объектов каждого класса, находящихся в ней одновременно, подчинено закону Пуассона Можно показать, что при такой модели априорные вероятности классов . Для каждой обнаруженной группы из объектов априорное распределение величины будет биномиальным:

Измерим по одному отсчету признака от каждого объекта группы и рассчитаем статистику Пусть функции гауссовские с параметрами , соответственно. Тогда величина тоже будет иметь гауссовское распределение с параметрами Следовательно, закон распределения статистики зависит от числа объектов первого класса в группе:

В соответствии с теоремой Байеса можно записать апостериорную вероятность величины

где .

В качестве оценки числа объектов первого класса в наблюдаемой группе можно выбрать значение величины максимизирующее функцию а точнее, функцию (оценка максимального правдоподобия) либо математическое ожидание распределения

Таким образом, в общем виде рассмотренный подход сводится к вычислению некоторых статистик совокупности измеренных признаков с последующим расчетом апостериорных распределений Оценки находят из анализа функций

Определенную сложность описанного подхода можно преодолеть на этапе обучения При этом значения оценок рассчитывают заблаговременно и в табличном или упрощенном аналитическом виде вводят в ЭВМ.

Иногда оценки максимального правдоподобия удается найти из уравнений

Так, в рассмотренном примере при допущении о равномерном характере закона решение этого уравнения относительно приводит к оценке вида

Разложение в ряд выражения для позволяет исследовать свойства найденной оценки:

оценка асимптотически несмещенная: при или она быстро сходится к функции т. е. к несмещенной оценке, полученной другим способом.

при оценка сходится к функции

Если в выражении для использовать аппроксимацию биномиального закона гауссовским с параметрами в предположении, что получим (при )

Вообще говоря, оценку максимального правдоподобия следовало искать, решая разностное уравнение, так как аргумент

функции дискретный. Однако найденные зависимости для дают хорошее приближение уже при размере группы

Знание свойств потоков радиолокационных целей позволяет находить оценки, характеризуемые минимальными от оцениваемых величин. Для такой оценки (см. п. 6.8.2)

где — дисперсия величины найденная на множестве групп размера . Для пуассоновских потоков объектов - среднее значение математического ожидания функции

Многократный расчет адаптивных оценок. Процедура уточнения состава группы с использованием одного и того же множества измеренных значений признаков может производиться многократно. Так, если статистики зависят от априорных вероятностей классов , то замена их в каждом новом, цикле адаптации величинами более близкими к роятностям чем позволяет рассчитывать на последовательное уточнение адаптивных оценок.

Вычислительные эксперименты показали, что точность несмещенных оценок вида (6.19) незначительно зависит от того, насколько отличаются вероятности или их оценки от величин Тем не менее можно показать, что минимум отклонения (см. п. 6.7.2) для оценки вида

при достигается при совпадении коэффициента в формуле

с вероятностью Это указывает на возможность последовательного уточнения Состава группы при нескольких циклах расчета оценок путем вычисления в каждом из них статистик с заменой на более близкую к оценку найденную в предыдущем цикле. Докажем высказанное утверждение.

Запишем формулу для дисперсии в виде

где .

Дифференцируя и устремляя получаем условие минимума дисперсии

где

С учетом [28] можно записать

и условие минимума дисперсии превращается в тождество при