3.2. СТРАТЕГИЯ БАЙЕСА

Фундаментальное понятие теории статистических решений — средние потери (риск) — определяет собой соответствующую стратегию выбора решений, а именно: решения следует принимать такими, чтобы средний риск достигал своего минимального значения. Стратегию минимального среднего риска в теории статистических решений называют стратегией Байеса, а минимальный средний риск — байесовским. В условиях, когда имеется полное описание классов распознаваемых объектов, т. е. известны функции плотности , априорные вероятности и матрица потерь (3.13), стратегия Байеса является оптимальной стратегией принятия решений при распознавании неизвестных объектов. Выбор любой другой стратегии, отличной от байесовской, влечет за собой увеличение числа ошибочных решений о принадлежности распознаваемых объектов к соответствующим классам, а следовательно, и увеличение среднего риска.

Покажем это на простом примере, когда множество объектов подразделено на два класса, а для их описания используется одномерная величина (рис. 3.2). Пусть точка определяет собой оптимальную решающую границу между классами заданными функциями плотности соответственно, иначе говоря, точка оптимальным образом разделяет признаковое пространство X на полупространства . В соответствии со стратегией Байеса, если измеренное значение признака у распознаваемого объекта оказывается в полупространстве то его следует отнести к первому классу, а если оказывается в полупространстве то ко второму классу.

Предположим, что выбрана иная стратегия: пространство X разбито на два полупространства и решения принимаются

Рис. 3.2

следующим образом: если то если то (рис. 3.2).

Разность среднего риска при подобной стратегии и байесовского риска в предположении, что составит

В области Значит, .

Рассмотрим теперь стратегию, в соответствии с которой пространство X разбито на два полупространства и решения принимаются следующим образом: если то если то Разность среднего риска при подобной стратегии и байесовского риска при тех же предположения составит

В области Значит, Таким образом, выбор любой иной стратегии, отличной от байесовской, приводит к увеличению среднего риска. Стратегию Байеса можно описать с помощью теоремы гипотез или формулы Байеса.

Пусть алфавит классов системы распознавания содержит классы а словарь признаков — признаки

Пусть известны также априорные вероятности появления на входе системы объектов каждого класса, а также плотности распределения Положим, что в результате наблюдений установлены значения признаков распознаваемого объекта Обозначим эту ситуацию через .

Условную вероятность принадлежности этого объекта к каждому классу можно определить в соответствии с формулой Байеса:

Записанная условная вероятность (вероятность гипотезы — объект относится к классу при условии, что имеет место ситуация ) представляет собой апостериорную вероятность. Определение позволяет на основе их сопоставления сформулировать решающие правила (критерии), в соответствии с которыми принимаются окончательные решения о принадлежности распознаваемого объекта к тому или другому классу. В частности, в соответствии с критерием идеального наблюдателя (правило Зигерта — Котельникова) решение о принадлежности распознаваемого объекта к классу принимается и тогда, когда

т. е. апостериорная вероятность отнесения объекта к некоторому классу превосходит апостериорные вероятности отнесения этого объекта ко всем остальным классам алфавита системы. Можно сформировать и другие критерии, например, потребовать, чтобы решение о принадлежности объекта к классу принималось тогда, когда апостериорная вероятность превосходит наибольшую из остальных в заданное число (например, раз, т. е.

либо, когда вероятность равна или превосходит сумму вероятностей отнесения распознаваемого объекта ко всем остальным классам, т. е.