6.5. УЧЕТ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПРИ ГОЛОСОВАНИИ

Непосредственный учет статистических связей. Рассмотренные алгоритмы базировались на предположении о том, что решения отдельных каналов независимы. На практике это условие будет выполняться далеко не всегда. Примером может служить бинарное распознавание радиолокационной цели по пачке эхо-сигналов, задержка между которыми меньше интервала их корреляции. В таких случаях мы не имеем права использовать формулу произведения вероятностей

Сформулируем задачу упрощенного представления функции удобного для практической реализации. Для этого воспользуемся формулой полной вероятности

Допустим, что существенная связь между решениями сохраняется в соседних каналах (отсчетах). В этом случае Для последовательности эхосигналов радиолокационных целей параметр можно полагать равным числу импульсов, накапливаемых в пределах интервала корреляции сигналов . Пусть, например, . Тогда при частоте обращения к объекту 5 Гц . В этом случае совместные распределения вероятностей частных решений можно представить в виде

Когда , а равноценны, (6.12) можно записать в виде

где — соответственно числа одинаковых решений (нулей или единиц), принятых в соседних Будем считать, что нули соответствуют решениям в пользу класса , а единицы — решениям в пользу класса и - соответственно вероятности событий получения двух нулей, двух единиц и т. д. при условии распознавания объектов класса. При этом полагается, что вероятность получить нулевое решение вслед за единичным равна вероятности получить единичное решение вслед за нулевым, т. е. . При подсчете числа «единиц» решение первого канала не учитывается.

Расчет отношения правдоподобия приводит к следующему решающему правилу:

где .

Устройство принятия решений, реализующее это правило, должно быть способным подсчитывать не только число «единиц», но и числа совпадающих решений.

Таким образом, оптимальное принятие общих решений с учетом связей между соседними возможно тогда, когда кроме вероятностей известны и условные вероятности попарных комбинаций решений Совпадающие результаты можно получить при известных законах Оценим выигрыш в достоверности распознавания за счет учета зависимостей между голосами соседних каналов. Для этого решим задачу распознавания объектов двух классов по Т отсчетам нормально распределенных признаков. Будем считать, что в каждом из каналов (в каждом отсчете) значение измеренного признака сравнивается с порогом после чего объект относят к классу при и к классу — в противном случае. В этом случае вероятности ошибок

При двух отсчетах признака (обозначим их для нахождения величин , необходимо предварительно вычислить двумерные интегралы от функций оценив вероятности попадания признаков в области, ограниченные прямыми . Если признаки независимы, то расчет таких

роятностей сведется к произведению интегралов Лапласа; в противном случае следует использовать табличную функцию , где коэффициент корреляции между соседними отсчетами признаков. При

Чтобы рассчитать вероятности общих решений с помощью (6.13), зададим следующие допущения:

Здесь — произвольное значение дисперсии признаков обоих классов; — коэффициент корреляции между отсчетами признаков объектов класса

При таких допущениях порог определяемый из условия равен нулю.

Результаты расчетов вероятностей общих решений, выполненных с учетом (6.13), иллюстрируются рис. 6.9. Штриховые линии соответствуют общим решениям, принятым без учета связей между величинами сплошные линии — решениям, принятым с помощью зависимости (6.12).

Несложные выкладки приводят к следующей формуле, связывающей коэффициенты корреляции (между отсчетами признаков ) и (между решениями ) в условиях рассмотренного примера:

Из рис. 6.10 следует, что при связь между почти линейная, а корреляция между решениями всегда слабее корреляции между признаками.

Рис. 6.9

Рис. 6.10

Анализ графиков, приведенных на рис. 6.9, показал, что корреляцию целесообразно учитывать при относительно сильной связи между частными решениями Отказ от учета корреляции при малом числе отсчетов может привести к снижению достоверности распознавания вследствие накопления решений. С увеличением числя отсчетов (измерительных каналов) такая опасность уменьшается.

Для расчета совместных вероятностей частных решений, принятых по нормально распределенным коррелированным признакам, удобно разложить двумерную функцию в ряд по степеням коэффициента корреляции

Вероятность попадания значений признаков в область можно найти, интегрируя выражение (6.14)

Здесь . Если положить, что то искомая вероятность приблизительно составит

где .

Аналогично можно выразить вероятности и других пар решений

где знак перед слагаемым зависит от того, совпадают решения или нет. При их совпадении берется знак плюс, в противном случае — минус.

Определим в соответствии с (6.15) корреляционный момент между решениями, а затем коэффициент корреляции между ними, где

Если полагать, что решения в пользу класса отмечаются единицами, а в пользу класса — нулями, то выражения для коэффициентов корреляции примут вид (при равноценных ИК)

где индекс показывает, что соответствующий параметр вычислен при условии наблюдения объектов класса .

Величины не могут принимать значения, большие единицы, так как при стремлении и к нулю пропорционально уменьшаются коэффициенты Анализ выражений (6.16) показывает, что выборочные значения оценок корреляционных моментов или коэффициентов корреляции между решениями в различных отсчетах (в различных каналах) могут служить дополнительной информацией, повышающей достоверность общих решений. Идея такого подхода сходна с идеей, лежащей в основе методов оптимального корреляционного приема радиолокационных сигналов. Выборочная оценка момента имеет вид

Для отнесения распознаваемого объекта к одному из классов статистику следует сравнить с соответствующими порогами. Для этого можно использовать корреляционные моменты между тремя, четырьмя и т.д. соседними решениями. Описанный подход может привести к хорошим результатам при распознавании объектов в условиях воздействия интенсивных некоррелированных помех, а также при значительных пересечениях одномерных функций .

Декорреляция частных решений. Нахождение совместных вероятностей частныхрешений и запоминание их связано с определенным усложнением процессов голосования. В связи с этим можно попытаться заменить множество зависимых решений множеством функций взаимно однозначно связанных с величинами 6. Основным требованием к функциям является их независимость или хотя бы слабая зависимость друг от друга. Выполнение этого условия позволит использовать для принятия общих решений одномерные функции на основании строгого или приближенного равенства

В теории распознавания образов известны способы преобразования многомерного пространства статистически связанных признаков в пространство линейно независимых признаков Если функции являются гауссовскими, то декоррелирующее преобразование сводится к вычислению линейных форм вида

где — некоторые коэффициенты.

В [34] описан способ преобразования пространства гауссовских признаков, позволяющих одновременно декоррелировать законы

распределения признаков Если число распознаваемых классов то такой способ декорреляции неприменим.

Выход может быть найден за счет преобразования признаков, индивидуального для каждого класса . В этом случае для расчета функций должны использоваться значения признаков определяемые по правилу

где коэффициенты зависят от составляющих ковариационной матрицы закона Ковариационные матрицы законов оказываются диагональными, что позволяет использовать зависимости

При рассмотренном подходе в памяти ЭВМ следует хранить значений коэффициентов или реализовывать зависимости (6.17) в аналоговом виде. Кроме того, для принятия общих решений должны быть определены функций

В тех случаях, когда многомерные распределения признаков не относятся к семейству нормальных, линейные преобразования вида (6.17) обычно не обеспечивают полной независимости величин

Несмотря на это, такой подход оправдал себя на практике, поскольку позволяет путем незначительных усложнений процесса обработки признаков повысить достоверность общих решений по сравнению со случаем, когда зависимость между признаками вообще игнорировалась.

Технически реализация описанных процедур оказывается намного проще вычисления и хранения в памяти ЭВМ значений многомерных функций Зачастую аналитическая аппроксимация таких функций, определенных опытным путем, оказывается вообще невозможной.

В тех случаях, когда имеют линейные характеристики и частные решения совпадают с измеренными значениями признаков описанный подход может быть реализован без изменений.

Как уже отмечалось, если множества частных решений каналов являются счетными и распределения заведомо не могут относиться к семейству нормальных, линейные преобразования вида (6.17) обычно не обеспечивают полной независимости решений. Тем не менее посмотрим, к чему может привести такая попытка.

Преобразуем двумерное пространство независимых решений в новое на основании зависимостей . Очевидно, что величины окажутся зависимыми. Положим и будем считать, что решения могут принимать значения 1 или 2 с вероятностями и соответственно.

Для объектов первого класса эти вероятности равны для объектов второго класса

Рассчитаем корреляционный момент и коэффициент корреляции между решениями при условии распознавания объектов класса Распределение вероятностей решений имеет вид вероятности остальных комбинаций величин равны нулю.

Коэффициент корреляции между этими решениями

Очевидно, что обратное преобразование позволяет перейти от. зависимых частных решений и к независимым. Следовательно, декоррелирующие преобразования величин в принципе возможны.

Преобразование, полностью исключающее статистическую связь между частными решениями, можно выполнить, спроецировав множество на прямую, каждая из точек которой соответствует одной из комбинаций величин Так, если решения бинарные и принимают значение 0 или 1, то новая решающая статистика должна вычисляться по правилу При этом вероятности каждого из возможных значений равны вероятности соответствующих комбинаций статистик

Такой подход позволяет несколько упростить схемную реализацию алгоритма голосования (см. рис. 9.4 и § 9.4).

В табл. 6.6 приведены основные разновидности правила обобщенного голосования, которые можно применять при распознавании радиолокационных целей.

Правило обобщенного голосования позволяет оптимальным образом объединять частные решения о классе цели, принимаемые разными РЛС. При этом алфавиты классов, используемые каждой станцией, могут не совпадать. Способ получения частных решений на РЛС не имеет значения для их объединения, нужна только информация о вероятностях ошибочной и правильной классификации объектов.

Если правило обобщенного голосования применяется на одной РЛС, то оно, по-существу, сводится к использованию более или менее грубых гистограмм вероятностей значений признаков цели. Если позволяет объем априорных данных и нет ограничений технического характера, то такие гистограммы достаточно точно аппроксимируют законы . В противном случае приходится грубо «нарезать» области значений каждого признака (или совокупности значений наиболее коррелированных признаков) на несколько участков (интервалов). Размеры каждого такого участка определяются возможностью обоснованного задания вероятности попадания в него значения признака (совокупности признаков)

Таблица 6.6 (см. скан)

(см. скан)

. Общее число выделенных участков ограничивается возможностями запоминающего устройства

Если какая-то часть признаков может быть точно описана законами то правило обобщенного голосования позволяет без потерь объединить информацию, поставляемую этими признаками, с частными решениями, полученными вследствие пороговой или иной обработки других признаков цели.

Опыт реализации алгоритма показывает, что на практике необходимость в использовании большого числа интервалов значений признаков не возникает. При числе таких интервалов от 3 до 20 на один (признак) правило обобщенного голосования обычно обеспечивает достоверность общих решений, близкую к потенциально достижимой.