3.4. СТРАТЕГИЯ НЕЙМАНА—ПИРСОНА

Стратегию Байеса можно применять только в том случае, если известны функции априорные вероятности , а также матрица потерь (3.13).

При отсутствии информации , необходимо прибегать к минимаксной стратегии. Однако на практике при построении

систем распознавания возможны такие ситуации, когда неизвестна не только , но и матрица потерь. Это исключает возможность применять классы стратегий Байеса, в том числе минимаксную стратегию. В подобных ситуациях теория статистических решений рекомендует пользоваться стратегией Неймана — Пирсона, которая состоит в следующем.

Исходя из того, какие решения принимаются на основании результатов распознавания неизвестных объектов, находится допустимое заданное значение условной вероятности ошибки первого рода, затем определяется такая граница между классами, при которой удается добиться минимума условной вероятности ошибки второго рода.

Пусть из каких-либо соображений принято решение, что допустимая условная вероятность ошибки первого рода не должна превышать некоторого постоянного значения h, т. е. . Требуется определить решение задачи при ограничении Очевидно, что решение удовлетворяет уравнению так как при выборе другого значения условная вероятность ошибок второго рода возрастает. Выбрать же нельзя по условиям задачи.

В заключение рассмотрим геометрическую интерпретацию названных критериев. Для этого в координатах построим рабочую характеристику (рис. 3.4), заметив, что при и, наоборот, при Так как

то, продифференцировав получим

— тангенс, угла наклона касательной к рабочей характеристике при Поэтому для расчета на основе критерия Байеса найдем на рабочей характеристике точку, касательная в которой имеет наклон, равный

Ордината этой точки определяет условную вероятность ошибки первого рода.

Рис. 3.4

Для расчета на основе минимаксного критерия необходимо учесть, что производная от среднего риска по априорной вероятности в точке его максимума равна нулю. Так как

В координатах это уравнение прямой. Если то

с угловым коэффициентом

Проведем на рис. 3.4 эту прямую Координаты точки пересечения прямой с рабочей характеристикой определяют условные вероятности при использовании минимаксного критерия. Тангенс угла наклона касательной в этой точке равен