8.2. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕЛЕКЦИИ ЕДИНСТВЕННОЙ ЦЕЛИ В ГРУППЕ. СРАВНЕНИЕ С ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ ПОРОГОВЫХ ПРАВИЛ

Адекватным математическим аппаратом оценки эффективности селекции является теория порядковых статистик. Рассмотрим вначале селекцию единственной истинной цели при использовании решающего правила (7.13). Правильное решение по селекции будет принято в том случае, если случайная величина с плотностью распределения окажется больше наибольшей из случайных величин с плотностью распределения Вероятность того, что все случайных величин окажутся меньше некоторого значения есть интегральная функция распределения наибольшей порядковой статистики в выборке объема где

Отсюда вероятность правильной селекции

Рассмотрим другую схему расчета вероятности Пусть — разность двух случайных величин, первая из которых имеет плотность распределения , а вторая является наибольшей порядковой статистикой с плотностью

Тогда плотность распределения случайной величины

Отсюда вероятность правильной селекции есть вероятность того, что т. е.

Случайную величину можно рассматривать как сумму случайных величин а закон распределения величины — как композицию распределений

Выражения (8.21) и (8.24) для тождественны. Действительно,

Первый из интегралов в (8.25) равен нулю, поскольку

ограничена, при

Изменяя порядок интегрирования во втором из интегралов, получаем:

Это выражение с точностью до обозначений совпадает с (8.21). Какую из формул или (8.24) использовать для вычисления вероятности зависит от условий конкретной задачи. Приведем некоторые примеры. Пусть

Отсюда

(кликните для просмотра скана)

что действительно совпадает с выражением для по формуле (8.34).

При формулы (8.32) и (8.33) также совпадают. В этом можно убедиться непосредственной подстановкой, которая и завершает доказательство формулы (8.33).

Если т. е. информация для выделения объекта первого класса среди объектов нулевого класса отсутствует, то Если то

Если т. е. в группе ровно один объект и, следовательно, он является истинным, то Во всех этих частных случаях формула (8.33) дает результаты, которые полностью совпадают с интуитивно ожидаемыми.

Рассмотрим еще один пример. Пусть

а число объектов в группе равно 2.

В этом случае также применимо решающее правило (7.13). Решение по селекции будет правильным в том случае, если случайная величина с плотностью окажется больше случай: ной величины у с плотностью распределения или, что то же самое, случайная величина примет положительное значение. Случайная величина очевидно, имеет плотность распределения

Закон распределения величины является композицией распределений (8.39) и (8.40), которая будет также нормальным распределением с математическим ожиданием и дисперсией Вероятность выполнения неравенства можно рассчитать формуле

где

интеграл вероятностей

При как и следовало ожидать при Рассмотрим, к каким последствиям приводит применение методологии классификации к решению задачи селекции.

В соответствии с критерием максимума правдоподобия в качестве порогового значения в рассматриваемом случае следует принять

Правильное и определенное решение при использовании данного порогового правила будет принято в том случае, если случайная величина с плотностью распределения (8.39) окажется больше , а случайная величина с плотностью (8.40) окажется меньше . Вероятность каждого из этих событий в отдельности равна , а вероятность совместного их осуществления . Ошибочное, но определенное решение будет принято в том случае, если случайная величина с плотностью окажется ниже порогового уровня , а случайная величина с плотностью — выше этого уровня. Вероятность этого события, очевидно, равна

В остальных случаях обе эти случайные величины окажутся одновременно либо выше порога, либо ниже его. В этих случаях определенного решения принять нельзя, а их вероятность равна

Сопоставление эффективности порядковых и пороговых решающих правил при различных значениях обобщенного отношения сигнал-шум приведено в табл. 8.3.

В последней строке приведены значения отношения сигнал-шум, которые требуются при применении порогового правила, чтобы обеспечивалась та же эффективность, что и при применении порядкового правила. Данные, приведенные в табл. 8.3, со всей определенностью свидетельствуют в пользу применения в задачах селекции решающих правил порядкового типа.

В рассмотренном примере удалось сравнительно просто получить явное аналитическое выражение для вероятности правильной селекции. Это объясняется тем, что оба распределения и - были гауссовскими, следовательно, гауссовской была и композиция этих распределений. В связи с этим очень привлекательной представляется идея аппроксимации распределения наибольшей порядковой статистики гауссовским, параметры

Таблица 8.3. (см. скан)

которого совпадают с соответствующими параметрами распределения наибольшей порядковой статистики. Критерием качества подобной замены должна быть погрешность вычисления вероятности правильной селекции, которая при этом возникает.

Если параметры исходного распределения то и то математическое ожидание и дисперсию наибольшей порядковой статистики в выборе объема можно рассчитать по формулам (8.12) и

где — параметры наибольшей порядковой статистики при исходном нормальном распределении с параметрами .

Если распределение

аппроксимировать гауссовским, параметры которого определяются по формулам (8.47) и (8.48), то при одной истинной цели в группе из объектов вероятность правильной селекции

При (одна цель истинная и одна ложная), полагая , поскольку распределение наибольшей порядковой статистики при этом совпадает с исходным, получаем формулу (8.42), которая является вполне точной. Сопоставление результатов расчетов по точной (8.21) и приближенной (8.50) формулам в зависимости от обобщенного отношения сигнал-шум для некоторых значений проведено в табл. 8.4. Анализ этих данных показывает, что погрешность вычисления вероятности в широком

Таблица 8.4 (см. скан)

диапазоне изменения параметра не превышает , что вполне достаточно для практики.

Зависимости вероятностей от значения обобщенного отношения сигнал-шум в локаторах второго эшелона можно рассматривать как рабочие характеристики приемников.

Значительный интерес представляет сопоставление результатов оценки эффективности селекции (обнаружения целей в локаторах второго эшелона) при числе целей в группе (разрешаемых объемов), большем двух, для двух алгоритмов принятия решений: порядкового и порогового. При пороговом правиле под правильным будем, как и в рассмотренном примере, понимать решение, при котором функционал реализации сигнала от цели окажется выше некоторого порогового уровня я, а все функционалы реализаций сигналов, обусловленных помехой, — ниже этого уровня. Вероятность совместного выполнения всех указанных событий является функцией порогового уровня я и при некотором его значении принимает наибольшее значение.

При гауссовском распределении вероятность правильного и определенного решения при использовании порогового правила можно рассчитать по формуле

Обозначим

Тогда

где — обобщенное значение отношения сигнал-шум.

Оптимальное значение я можно определить из условия

В частности, при оптимальное значение порога Именно оно и было использовано при расчете данных табл. 8.3.

При использовании решающего правила общего вида (7.6) вероятность правильной селекции также оценивается по формулам (8.21) и (8.24). При этом плотности распределения значений признаков следует заменить соответствующими плотностями распределения значений отношения правдоподобия Последние определяются по известным формулам теории вероятности. В частности, если функция не является монотонной и, следовательно, обратная функция неоднозначна, а все ее значения соответствуют конкретному значению К, то

Если при селекции используете несколько признаков функцией которых является отношение правдоподобия, то удобнее исходить из формулы для интегральных распределений . Пусть, например, для указанной системы признаков задана совместная плотность вероятности Если область на плоскости для которой , то

Порядковая статистика обладает определенными свойствами оценки и с ростом становится все более устойчивой. Количественной мерой устойчивости является ее дисперсия, которая хотя и довольно медленно, но все же стремится к нулю при Порядковое правило при этом по своим свойствам приближается к правилу порогового типа, превосходя его, однако, по эффективности при любых значениях