ГЛАВА 3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ СЕЛЕКЦИИ И РАСПОЗНАВАНИЯ

3.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ

Настоящая книга посвящена обсуждению специфики процессов селекции и распознавания объектов целей на основе использования локационной информации. Она состоит в том, что вне зависимости от принципа действия радио- или лазерных локационных систем, диапазона рабочих частот, на которых они осущеставляют лоцирование объектов, и т. п. на полезный сигнал, содержащий информацию об объектах, накладываются те или другие помехи. Иначе говоря, полезный сигнал поступает на вход системы распознавания одновременно и совместно с помехами. Поэтому задачи селекции и распознавания объектов, основанные на использовании локационной информации, уместно рассматривать в вероятностной статистической постановке, а методы и алгоритмы их решения базировать на основных классических результатах теории статистических решений [14, 15].

Пусть множество объектов подразделено на два класса , описываемых условными плотностями распределения вероятностей значений признака , априорными вероятностями появления на входе системы объектов каждого класса. Пусть известна также матрица потерь — платежная матрица, элементы которой соответствуют правильным и ошибочным решениям системы распознавания:

Возникает вопрос: как разделить признаковое пространство X на два полупространства, чтобы в среднем по множеству актов распознавания значение среднего ущерба (риска) равное сумме потерь, связанных с неправильными и правильными решениями, было минимальным. Обозначим точку, оптимальным образом разделяющую пространство X на два полупространства через . Тогда если измеренное значение признака распознаваемого объекта то объект следует отнести к классу если — к классу . Однако, как легко заметить из рис. 3.1, подобного рода решения неизбежно сопряжены с двумя видами ошибок, называемыми ошибками первого и второго рода.

Ошибка первого рода состоит в том, что объект, принадлежащий первому классу, система распознавания ошибочно относит ко второму классу. Условная вероятность ошибки первого рода — вероятность ложной тревоги

Рис. 3.1

Ошибка второго рода состоит в том, что объект, принадлежащий второму классу, система распознавания ошибочно относит к первому классу. Условная вероятность ошибки второго рода — вероятность пропуска цели

Соответственно условные вероятности правильных решений

Значение среднего риска

Для определения значения при котором достигает минимума, продифференцируем К по и приравняем производную нулю, положив

откуда

Отношение условных плотностей распределения называют коэффициентом (или отношением) правдоподобия. Правая часть (3.8)

определяет пороговое (критическое) значение коэффициента правдоподобия. Если подчинены гауооовским законам распределения то

В частных случаях при

а если, кроме того, то

В общем случае, когда число классов , а объекты описываются набором признаков отношение правдоподобия между будет При этом платежная матрица

а средний риск

Из условия минимума среднего риска уравнение границы в многомерном признаковом пространстве между областями соответствующими классами

Если положить то

или

Если функции плотности подчинены гауссовским законам распределения

где — средний вектор, — ковариационная матрица, а - знак

транспонирования матриц, уравнение решающей границы между областями

Если

Уравнение (3.19) описывает гиперповерхность, разделяющую наилучшим образом с точки зрения минимума средних по множеству актов распознавания потерь многомерное признаковое пространство X на области, соответствующие классам