Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА 8. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СЕЛЕКЦИИ8.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИКТеория порядковых статистик изучает свойства элементов упорядоченной выборки. Упорядочением (ранжированием) выборки называется расположение ее элементов в порядке возрастания или убывания. В дальнейшем для определенности будем рассматривать только выборки, элементы которых расположены в порядке возрастания, т. е. для любых Интуитивно почти очевидно, что при известном законе распределения генеральной совокупности вид и параметры закона распределения порядковой статистики определяются как ее номером Приведем вывод формул, которые позволяют связать интегральную функцию
Отсюда вероятность того, что
Плотность
Сумму в (8.3) удается свернуть, в результате чего это выражение становится более компактным:
Можно предложить более простое, хотя, возможно, и менее строгое, обоснование этой формулы. Все множество возможных значений случайной величины
Аналогично вероятность попадания ровно одного из
Совместная вероятность этих двух независимых событий равна их произведению и, очевидно, совпадает с В дальнейшем будем часто пользоваться наибольшими и наименьшими порядковыми статистиками. Вероятность
Это непосредственно следует из определения интегральной функции распределения. Плотность распределения наибольшей порядковой статистики определяется дифференцированием
Аналогично интегральная функция распределения наименьшей порядковой статистики
Дифференцируя (8.9), определяем плотность распределения наименьшей порядковой статистики
Формулы (8.7) — (8.10) можно получить и непосредственно из (8.2) и (8.4). Если
Это означает, что для симметричной плотности распределения исходной случайной величины при изучении свойств экстремальных порядковых статистик достаточно ограничиться изучением одной из них, например максимальной. Рассмотрим далее числовые характеристики порядковых статистик — математическое ожидание и дисперсию. Обозначим через Распределение экстремальных порядковых Параметры Таблица 8.1 (см. скан) Приведенные в табл. 8.1 данные позволяют оценить математическое ожидание
где
Аналогично
В силу симметрии плотности исходного распределения относительно значения
Распределения порядковых статистик в значительной мере отличаются от гауссовских. Количественной характеристикой этих отличий являются моменты более высоких порядков — асимметрия и эксцесс (табл. 8.2). Напомним, что для нормального распределения асимметрия равна нулю, а эксцесс Таблица 8.2. (см. скан) аппроксимировать гауссовскими, параметры которых — математическое ожидание и дисперсия — совпадают с соответствующими значениями распределений порядковых статистик. Возможность подобной замены объясняется тем, что при оценке эффективности селекции распределения экстремальных порядковых статистик используются в композиции с другими (преимущественно гауссовскими) распределениями. В результате композиция распределений оказывается более близкой к гауссовскому, чем распределения отдельных слагаемых. Кроме того, при малых Как будет показано далее, погрешность оценки вероятности правильной селекции не превышает 0,001 во всем диапазоне изменения параметра В заключение отметим, что порядковые статистики не являются статистически независимыми. Их совокупность представляет собой простую марковскую последовательность. Это, в частности, означает, что порядковая статистика в сочетании с ее рангом (номером в упорядоченной выборке) обладает некоторыми свойствами оценок. Между порядковой" статистикой и ее рангом существует определенная статистическая связь, которая с ростом объема выборки становится все более жесткой, переходя в пределе в функциональную зависимость. В некоторых случаях оценки параметров распределений, полученные при использовании порядковых статистик, оказываются даже более эффективными, чем, например, оценки максимального правдоподобия. Так, оценка среднего равномерного распределения
(А — размах распределения), определяемая только по экстремальным статистикам
имеет дисперсию оценки
Точность этой оценки выше точности выборочного среднего. Однако применительно к нормальным распределениям эффективность оценок вида (8.18) уступает оценке выборочного среднего. В любом случае с большей или меньшей степенью определенности порядковая статистика характеризует не столько какое-либо конкретное измерение, сколько наблюдаемую выборку в целом. Это означает, что принятие решений при селекции основывается, по существу, на использовании полной информации, полученной по всем объектам наблюдаемой группы. Приведенные краткие сведения из теории порядковых статистик позволяют провести оценку эффективности используемых при селекции статистических решающих правил порядкового типа.
|
1 |
Оглавление
|