Главная > Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 1.2. Простейшие способы решения алгебраических уравнений

В случае уравнение (I) обычно записывается в виде

и называется уравнением первой степени. Уравнение (1) имеет единственный корень

В случае уравнение (I) обычно записывается в виде

и называется квадратным уравнением.

Хорошо известно, что если дискриминант квадратного трехчлена

а) отрицателен, то уравнение (2) не имеет корней;

б) положителен, то уравнение (2) имеет два различных корня

в) равен нулю, то уравнение (2) имеет единственный корень Иногда в этом случае говорят, что уравнение (2) имеет два совпадающих корнях Легко видеть, что они также отыскиваются по формулам (3).

При существуют формулы для нахождения корней алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней, однако в силу их громоздкости они применяются редко.

В общем случае не существует формул для нахождения корней любого алгебраического уравнения более высокой степени, чем четыре. Тем не менее достаточно часто приходится решать алгебраические уравнения степени большей, чем два.

Если многочлен записан в виде произведения многочленов первой и второй степени, то уравнение (1) равносильно совокупности соответствующих уравнений первой и второй степени, формулы решения которых приведены выше.

Пример 1. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений Решение первого из этих уравнений есть Решения второго уравнения есть . Следовательно, решения исходного уравнения есть

Ответ:

Если многочлен имеет степень большую, чем 2, и не разложен на множители первой и второй степени, то его сначала надо каким-либо способом разложить на такие множители, а затем заменить уравнение (I) равносильной ему совокупностью уравнений.

Приведем решения некоторых алгебраических уравнений основанные на разложении его левой части — многочлена на множители методами, изложенными в предыдущем параграфе.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Поскольку

то данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет, решения первого есть Эти числа и являются решениями уравнения (4).

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Будем искать многочлены такие, что справедливо тождественное равенство

Тогда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного х в левой и правой частях этого равенства, имеем систему равенств

Этой системе равенств удовлетворяют числа Поэтому справедливо разложение многочлена на множители:

откуда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Эта совокупность имеет единственное решение Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Поскольку коэффициенты многочлена — целые числа и старший коэффициент равен 1, то рациональные корни многочлена, если они есть, могут быть только среди чисел ±1 и ±2. Легко проверить, что есть корень многочлена. Значит, данный многочлен делится на Произведем деление многочлена на двучлен “столбиком” :

Следовательно, , и исходное уравнение равносильно совокупности уравнений откуда получаем, что решения исходного уравнения есть

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Обозначим и рассмотрим уравнение с параметром:

Рассматривая это уравнение как квадратное относительно а, разложим его левую часть на множители

Значит, уравнение (5) равносильно совокупности уравнений

Множество решений первого уравнения есть

Множество решений второго уравнения есть

Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня:

Ответ:

1
Оглавление
email@scask.ru