§ 1.2. Простейшие способы решения алгебраических уравнений

В случае уравнение (I) обычно записывается в виде

и называется уравнением первой степени. Уравнение (1) имеет единственный корень

В случае уравнение (I) обычно записывается в виде

и называется квадратным уравнением.

Хорошо известно, что если дискриминант квадратного трехчлена

а) отрицателен, то уравнение (2) не имеет корней;

б) положителен, то уравнение (2) имеет два различных корня

в) равен нулю, то уравнение (2) имеет единственный корень Иногда в этом случае говорят, что уравнение (2) имеет два совпадающих корнях Легко видеть, что они также отыскиваются по формулам (3).

При существуют формулы для нахождения корней алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней, однако в силу их громоздкости они применяются редко.

В общем случае не существует формул для нахождения корней любого алгебраического уравнения более высокой степени, чем четыре. Тем не менее достаточно часто приходится решать алгебраические уравнения степени большей, чем два.

Если многочлен записан в виде произведения многочленов первой и второй степени, то уравнение (1) равносильно совокупности соответствующих уравнений первой и второй степени, формулы решения которых приведены выше.

Пример 1. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений Решение первого из этих уравнений есть Решения второго уравнения есть . Следовательно, решения исходного уравнения есть

Ответ:

Если многочлен имеет степень большую, чем 2, и не разложен на множители первой и второй степени, то его сначала надо каким-либо способом разложить на такие множители, а затем заменить уравнение (I) равносильной ему совокупностью уравнений.

Приведем решения некоторых алгебраических уравнений основанные на разложении его левой части — многочлена на множители методами, изложенными в предыдущем параграфе.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Поскольку

то данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет, решения первого есть Эти числа и являются решениями уравнения (4).

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Будем искать многочлены такие, что справедливо тождественное равенство

Тогда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного х в левой и правой частях этого равенства, имеем систему равенств

Этой системе равенств удовлетворяют числа Поэтому справедливо разложение многочлена на множители:

откуда следует, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Эта совокупность имеет единственное решение Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Поскольку коэффициенты многочлена — целые числа и старший коэффициент равен 1, то рациональные корни многочлена, если они есть, могут быть только среди чисел ±1 и ±2. Легко проверить, что есть корень многочлена. Значит, данный многочлен делится на Произведем деление многочлена на двучлен “столбиком” :

Следовательно, , и исходное уравнение равносильно совокупности уравнений откуда получаем, что решения исходного уравнения есть

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Обозначим и рассмотрим уравнение с параметром:

Рассматривая это уравнение как квадратное относительно а, разложим его левую часть на множители

Значит, уравнение (5) равносильно совокупности уравнений

Множество решений первого уравнения есть

Множество решений второго уравнения есть

Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня:

Ответ: