4.2.4. Использование свойств синуса и косинуса.

Решение большого количества тригонометрических уравнений может быть сведено к решению систем уравнений. Примерами таких уравнений могут служить следующие:

где данные действительные числа, пит — данные натуральные числа. При решении таких уравнений используется следующее свойство синуса: если для некоторого числа справедливо строгое неравенство то такое число не может быть корнем ни одного из уравнений (25). Аналогично, при решении уравнений

используется свойство косинуса: если для некоторого числа справедливо строгое неравенство огаго то такое число не может быть корнем ни одного из этих уравнений. Пример 10. Решить уравнение

Решение. Если решение уравнения (26), то либо либо Действительно, если бы то из уравнения (26) следовало бы, что что, естественно, невозможно. Но если то из уравнения (26) следует, что если же то Следовательно, любое решение уравнения (26) является решением одной из следующих двух систем уравнений:

Легко видеть, что любое решение системы (27) и любое решение системы (28) есть решение уравнения (26). Следовательно, уравнение (26) равносильно совокупности систем уравнений (27) и (28). Решим эти системы.

Первое уравнение системы (27) имеет решения

Все они удовлетворяют второму уравнению этой системы, т. е. являются решениями системы (27).

Первое уравнение системы (28) имеет решения

Ни одно из этих чисел не удовлетворяет второму уравнению этой системы. Поэтому система (28) не имеет решений.

Итак, решения исходного уравнения (26) совпадают с решениями системы (27).

Ответ:

Пример 11. Решить уравнение

Решение. Если есть решение уравнения (29), то ибо в противном случае было бы справедливо неравенство что невозможно. Но если то из уравнения (29) следует, что Поэтому любое решение уравнения (29) является решением системы уравнений

Легко видеть, что любое решение системы (30) есть решение уравнения (29). Следовательно, уравнение (29) равносильно системе уравнений (30).

Первое уравнение системы (30) имеет решения

Все они удовлетворяют второму уравнению системы (30), т. е. являются решениями уравнения (29).

Ответ:

Пример 12. Решить уравнение

Решение. Если решение уравнения (31), то (в противном случае что невозможно).

Но тогда Следовательно, любое решение уравнения (31) есть решение системы уравнений

Легко видеть, что любое решение системы (32) есть решение уравнения (31). Поэтому уравнение (31) равносильно системе (32).

Первое уравнение системы (32) имеет решения

Найдем те из этих решений, которые будут удовлетворять второму уравнению системы (32). Это будут те для каждого из которых найдется число такое, что будет справедливо равенство

Перепишем равенство (33) в виде

Поскольку целые числа, то равенство (34) справедливо лишь тогда, когда но тогда Итак, решениями системы (32) являются х, где т. е.

Ответ: