2.4.6. Использование свойств абсолютной величины.

При решении уравнений и неравенств с модулем иногда бывает полезно решать их не по основному методу, а применять свойства модуля, в основном неотрицательность на ОДЗ выражения, находящегося под знаком модуля.

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Обозначим через а и через 6. Тогда уравнение (22) можно записать в виде

Из свойств абсолютной величины вытекает, что равенство (23) возможно тогда и только тогда, когда одновременно . Поэтому исходное уравнение (22) равносильно системе неравенств

Решение этой системы неравенств, а значит, и исходного уравнения есть

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (24) есть все кроме Поскольку для любого х из ОДЗ

то уравнение (24) можно переписать так:

Обозначим через а и через тогда уравнение (25) можно переписать так:

Из свойств абсолютной величины вытекает, что равенство (26) имеет место тогда и только тогда, когда

Это означает, что решения уравнения (24) совпадают с решениями неравенства

Решениями неравенства (27), а значит, и исходного уравнения, являются и все х из промежутка Ответ:

Пример 10. Решить неравенство

Решение. Для любого имеем поэтому а это означает, что ни одно из не является решением неравенства (28).

Для любого имеем и поэтому а это означает, что ни одно также не является решением неравенства (28).

Для любого х из промежутка имеем поэтому Следовательно, а это означает, что ни одно х из промежутка не является решением неравенства (28).

Итак, неравенство (28) не имеет решений.

ОТВЕТ: решений нет.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)