1.5.3. Обобщенный метод интервалов.

Иногда алгебраические неравенства степеней более высоких, чем два, путем равносильных преобразований приводятся к виду

где целые положительные числа; действительные числа, среди которых нет равных, такие, что

Такие неравенства могут быть решены с помощью так называемого обобщенного метода интервалов.

В основе его лежит следующее свойство двучлена точка а делит числовую ось на две части, причем:

а) если четное, то выражение справа и слева от точки сохраняет положительный знак,

б) если нечетное, то выражение справа от точки положительно, а слева от точки отрицательно.

Рассмотрим многочлен

где .

Для любого числа такого, что соответствующее значение любого сомножителя в (18) положительно, поэтому числовое значение также положительно.

Для любого взятого из интервала соответствующее значение любого сомножителя в (18), кроме последнего, положительно, а соответствующее значение последнего сомножителя положительно, если четное число, и отрицательно, если нечетное число. Поэтому число положительно, если четное число, и отрицательно, если нечетное число.

Аналогично показывается, что если известен знак на интервале то на промежутке знак определяется по следующему правилу. Многочлен при переходе через точку

а) меняет знак на противоположный знаку на если нечетное число;

б) не меняет знака (тот же знак, что на если к, — четное число.

На этом рассуждении и основан обобщенный метод интервалов: на числовую ось наносят числа в промежутке справа от наибольшего из корней многочлена ставят знак плюс, а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень а, меняют знак, если нечетное число, и сохраняют знак, если четное число.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Перепишем неравенство в равносильном виде

Для решения этого неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой оси отметим числа —7, —10/3, 5/2, 6 (рис. 4). Справа от наибольшего числа (числа 6) ставим знак плюс.

Рис. 4

При переходе через точку многочлен

меняет знак, так как двучлен содержится в нечетной степени, поэтому в промежутке ставим знак минус. При переходе через точку многочлен меняет знак, так как двучлен содержится в произведении (21) в нечетной степени, поэтому в промежутке ставим знак плюс. При переходе через точку многочлен не меняет знака, так как двучлен содержится в произведении (21) в четной степени, поэтому в

промежутке ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку многочлен меняет знак, так как двучлен содержится в произведении (21) в первой степени, поэтому в промежутке ставим знак минус. Решением неравенства (20), а значит, и равносильного ему исходного неравенства будет совокупность промежутков, где стоит знак плюс, т. е. объединение множеств

Ответ: Замечание 1. Обобщенный метод интервалов можно применять и при решении неравенств

где многочлены, если заметить, что на множестве всех действительных чисел неравенство (22) равносильно неравенству

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Неравенство (23) равносильно неравенству

Поскольку при любом х, то последнее неравенство равносильно неравенству

Применим обобщенный метод интервалов. На числовой оси отметим точки —2, —1, 1, 3/2 и 3 и расставим знаки, как указано на рис. 5. Те промежутки, где стоит знак минус, и дадут все решения неравенства (23).

Ответ:

Рис. 5

Замечание 2. Обобщенный метод интервалов можно применять и так:

1) найти все различные корни многочлена

2) выяснить знак многочлена на каждом из интервалов подставляя в вместо х любое число из этого интервала.

Пример 7. Решить неравенство

Решение. Многочлен обращается в нуль в точках Эти точки разделяют числовую ось на семь промежутков (рис. 6).

Рис. 6

Так как при имеем то поэтому справа от точки е. в промежутке ставим знак плюс. Затем рассмотрим, например, из промежутка Так как при имеем то поэтому справа от точки

в промежутке ставим знак минус. Поступая аналогично, расставим знаки плюс или минус, как указано на рис. 6.

Решением неравенства (24) будет объединение всех тех промежутков, в которых поставлен знак плюс, т. е. это будет объединение промежутков

Ответ:

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)