4.3.2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции.

Справедливы следующие утверждения.

1. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции, имеющей на интервале конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу , а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

2. Наибольшее (наименьшее) значение функции, принимаемое ею на интервале может достигаться в тех точках интервала в которых производная функция равна нулю или не существует (каждая такая точка называется критической точкой).

3. Если в критической точке функция непрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с минуса на плюс, то точка точка минимума, а если ее производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума.

4. Если функция непрерывна на промежутке где либо либо , либо и имеет внутри производную и внутри то функция возрастает (убывает) на

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (4) есть промежуток Так как для любого то уравнение (4) можно переписать в виде

или в виде

Наименьшее значение функции на промежутке есть 3. Найдем наибольшее значение на промежутке функции Так как на промежутке функция отрицательна, а на промежутке положительна, то наибольшее значение функция может принимать лишь на промежутке

Эта функция на промежутке имеет производную

которая обращается в нуль в точках Поскольку на промежутке имеем а на промежутке имеем то в силу непрерывности функции заключаем, что она на промежутке убывает, а на промежутке возрастает. Следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение, причем Поскольку то для любого х справедливы неравенства

из которых следует, что уравнение (5) решений не имеет.

Следовательно, не имеет решений и равносильное ему уравнение (4).

Ответ: решений нет.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (6) есть промежуток Рассмотрим непрерывную функцию на отрезке [2; 4]. Функция на интервале (2; 4) имеет производную

обращающуюся в нуль только при Так как функция непрерывна на отрезке [2; 4], то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел Так как то наибольшее значение есть Следовательно, уравнение (6) имеет единственный корень

Ответ:

Пример 6. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (7) есть промежуток Рассмотрим непрерывную функцию на промежутке Эта функция имеет внутри промежутка производную

Эта производная внутри промежутка обращается в нуль только в точке Поскольку для любой точки х, находящейся слева от точки имеем, что а для любой точки справа от имеем то в силу непрерывности функции, на отрезке возрастает, на промежутке убывает и точка есть точка максимума функции Это означает, что для любого х из кроме справедливо неравенство Следовательно, решениями исходного неравенства (7) являются все х из двух промежутков

Ответ:

Пример 7. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (8) есть промежуток Рассмотрим функцию

Эта функция на промежутке I имеет производную

которая обращается в нуль в точке

Рассмотрим функцию сначала на промежутке Так как непрерывна на промежутке и для любой точки х внутри промежутка имеем то возрастает на Поскольку то для любого внутри е. ни одно из промежутка не есть решение неравенства (8).

На промежутке функция непрерывна, для любой точки внутри промежутка имеем поэтому возрастает на Поскольку то для любого внутри , т. е. любое из промежутка есть решение неравенства (8).

Ответ: